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[Math] The Key Rules of Differentiation

The Key Rules of Differentiation 1. Power rule (다항식의 미분에 핵심) If $f(x)=x^n$, where $n \in \mathbb{R}$, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime(x)=nx^{n-1}$. 2. Constant rule if $f(x)=c$ where $c \in \mathbb{R}$ and constant, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime (x)=0$. 3. Sum and Difference rule (미분의 선형성) $f$와 $g$ 모두 $x$에 대해 differentiable function이라면, 다..

[Math] Cauch’s Mean Value Theorem

Cauch가 Mean Value Theorem을 일반화시킨 Theorme(정리) : 1821년발표 내용은 다음과 같음. 두 함수 $f(x), g(x)$가 $[a,b]$에서 continuous하고, $(a,b)$에서 differentiable하면, $(a,b)$ 에 다음을 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재함. $$(f(b)-f(a))g^\prime (c)=(g(b)-g(a))f^\prime(c)$$ 두개의 함수를 이용하여 derivative와 average ratio of change 간의 관계를 살핌. 증명은 Rolle's Theorem을 이용함. 여기서 $g(x)=x$로 한정할 경우, Mean Value Theorem이 됨 ($g^\prime=1$). $$(f(b)-f(a))=(b-a)f^\prime..

[Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem

중간값의 정리(Intermediate Value Theorem, IVT) 와 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT) 는 미적분학에서 중요한 정리들이며, 서로 유사하게 보이지만 다른 정리임. 중간값의 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT) 중간값의 정리는 function의 continuity (연속성)에 대한 Theorem. function $f(x)$가 $[a,b]$에서 continuous이고 $f(a) \ne f(b)$이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 어떤 값 $m$에 대해 $f(c)=m$인 $c$가 $(a,b)$에서 적어도 하나 이상 존재. 평균값의 정리 (Mean Value Theorem, MVT) 평균값의 정리는 differtiable func..

[Math] interval (구간)

A (real) interval is a set of real numbers that contains all real numbers lying between any two numbers of the set. 구간을 parentheses와 square bracket을 이용하여 표현하는 것을 꼭 기억할 것. An open interval (개구간) does not include its endpoints, and is indicated with parentheses. For example, $(0,1)$ means greater than $0$ and less than $1$. This means $(0,1) = \{x | 0 < x < 1\}$. A closed interval (폐구간) is an inte..

[Math] Limit of Scalar Function: Left-sided Limit and Right-sided Limit

수렴과 발산 간단하게 생각하면 다음과 같음. Limit이 존재할 때 → 수렴(Converge)한다 고 말함. Limit이 존재하지 않을 시 → 발산(Diverge)한다 고 말함. 위는 엄격한 수학적 정의는 아니며, 아주 쉽게 사용되는 경우를 애기한 것임. limit이 존재하지 않는 경우는 양 또는 음의 무한대로 발산하는 경우 외에도 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 경우들도 있으며, 이경우에는 발산한다고 애기하지는 않음. function이 발산(diverge)한다는 것(scalar function에 경우)은, function의 값이 어떤 실수값으로 정해지지 않고 (정해지면 수렴), 무한히 양 또는 음으로 커지는 경우를 가르킴. Left hand Limit (좌극한, lhl, Left sided limit)..

[Math] Analytic Function (해석함수)

An analytic function is a function that is locally given by a convergent power series (수렴하는 멱급수). There exist both real analytic functions and complex analytic functions. Analytic Function은 간단히 말하면 “무한번 미분가능하고 국소적으로 멱급수로 수렴"되는 function 임. absolute value (절대값)은 analytic function이 아닌 함수의 대표적 예임. ← 0에서 함수가 analytic하지 못함, 0을 Singular point(특이점)이라고 부름. 위의 표현은 “Lagrange의 정의”를 기반으로 표현한 것임. Analysis(해석학..