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[SS] Convolution Example : Pulse Function

Pulse function $f(t)$ (blue)와 $g(t)$ (red)의 convolution을 보여주는 gif임. $g(t)$를 reflection시킨 후 slide을 시킴. 검은색 라인이 바로 $(f*g)(t)$의 결과를 보여줌. 둘다 unit pulse이므로 convolution의 결과는 노란색으로 표기된 겹치는 부분의 넓이가 됨. $$(f*g)(t) = \int^\infty_{-\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ 1. $t=-1$ 일 때 겹치기 시작하므로 이후 $(f*g)(t)$의 값이 0 보다 커짐. 2. $t=0$ 일 때 $g(t-\tau)$와 $f(\tau)$가 정확히 일치하므로 가장 큰 $(f*g)(t)$의 값을 가짐. 3. 이후 겹치는 영역이 줄어들므로 $(..

[SS] Convolution Op.에서 교환법칙 증명.

$$\begin{aligned}y(t)&=x(t)*h(t)\\&=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty x(t-l)h(l) dl \quad\quad \leftarrow l=t-\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty h(l) x(t-l)dl \\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl\\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl \quad\quad \leftarrow l\text{을 }\tau\text{로 표기 변경} \\ &=\int^{\infty}_{-\infty} h(\tau) x(t-\tau)d\tau \\&=h(t)*x(t)\en..

[SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response

LTI System $T$를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다고 하자. $$y(t) = T\left\{x(t)\right\}$$ where $x(t)$ : input signal에 해당하는 function. $y(t)$ : output signal에 해당하는 function. 여기서, sifting property에 의해 impulse function들의 weighted sum으로 $x(t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$x(t)=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$ 2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Properties of Impulse Function [SS] Properties of Imp..

[SS] System의 종류 (3)

Dynamic Systems and Instantaneous Systems https://bme808.blogspot.com/2022/10/dynamic-system.html SS : Dynamical Systems and Instantaneous Systems Dynamical System 특정 시간 $t$에서 System의 출력이 $t$이전의 과거의 입력과 출력에 영향을 받는 경우 , 해당 시스템을 dynamical system이라고 부름. Dynamical System (or Dynamic S... bme808.blogspot.com Lumped parameter system vs. distributed parameter system Lumped parameter system 구성 요소의 물리적 특..

[SS] System의 종류 (2) : Time Invariant, Causal

Time Invariant System and Time Varying System $$y(t-t_0) = T\left\{ x(t-t_0) \right\}$$ 시스템 특성(parameters)이 시간에 따라 불변(invariant) 시간에 상관없이 같은 입력에 대해서는 같은 반응을 나타냄 시불변이 아닌 시스템을 시변(time varying) 시스템이라고 한다. 가장 많이 모델링 및 분석되는 기본적인 system은 linear time-invariant system (LTI System)이기 때문에 Time Invariant System에 대한 확실한 이해가 중요함. 커피자판기는 time invariant system인가? Causal System and Non-causal System Causal Syst..

[SS] System의 종류 (1) : Coninuous, Linear

1. Continuous System & Discrete System Continuous System 입력과 출력이 연속 신호인 시스템 Discrete System 입력과 출력이 이산 신호인 시스템 2. Linear System & Non-linear system Linear system $\mathcal{T}\left\{ \quad \right\}$은 다음 두가지 property를 가짐. Additivity (가산성) property $$\begin{matrix} y_1(t)=\mathcal{T}\left\{x_1(t)\right\} \\ y_2(t)=\mathcal{T}\left\{x_2(t)\right\}\end{matrix} \Rightarrow \mathcal{T}\left\{x_1(t)+x_2..