...

[Math] 수(Number)의 종류

Number의 종류는 다음과 같고, 이들은 각각 set을 이룸.2024.02.25 - [.../Math] - [Math] Class: set and proper class (클래스와 집합) [Math] Class: set and proper class (클래스와 집합)Class, Proper Class, and SetClass집합론 (Zermelo-Fraenkel set theory)에서Class는 구별가능한 수학적인 객체 (distinctive object)의 collection을 의미함.(Set은 collection of distinctive objects라고 말할 수 있으나, 여기에 well-dsaint31.tistory.comNatural number자연수 (= 양(positive)의 정수)기호 ..

[SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta_\epsilon( t ) =\left\{ \begin{matrix} 0 & ,t < -\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ \varepsilon } & ,-\frac { \varepsilon }{ 2 } \le t

[Math] Radian (Circular measure, 호도법)

60분법 (degree) 원을 이루는 각을 360으로 나눈 것을 1도(degree)라 함. Radian (호도법, Circular measure) 원(흔히 단위원)에서 원주와 반지름의 길이가 같아질 때의 θ를 1 radian이라고 함. $$\theta = \frac{l_{arc}}{l_{radian}}$$ 호도법 : 호의 길이를 이용하여 각도를 측정한다는 한자용어. Degrees vs. Radian (정의 혹은 측정의 측면) Observer(관찰자)가 얼마나 고개를 들어 올리는가? : degree Mover(이동자)가 얼마나 이동을 해야 하는 각도인가? : radian Radian의 장점 trigonometric function의 미적분시 _곱해지는 상수항이 없어서 *_편리**. 원에서 반지름과 둘레가 ..

[SS] Example : Sampling function and Sinc function.

$k$에 대한 다음의 함수를 sampling func.[$\text{Sa}(x)$]과 sinc func.[$\text{sinc}(x)$]의 형태로 표기하시오. $$ \frac{1}{\pi k}\sin\left(\frac{\pi k \tau}{T}\right) $$ $T$, $\tau$는 모두 상수임. https://youtu.be/czb5bHEiBaU

[Math] Geometric Series (등비급수 or 기하급수)

Geometric Series의 Recurrence Formula (점화식) $a_n=ar^{n-1}$ 인 경우, 첫번째 term이 $a$이고 common ratio(공비)가 $r$임. 수식 : Series는 sequence의 합 Geometric Series $S_n$은 $a_1$부터 $a_n$까지의 합으로 다음과 같음. $$\begin{aligned}S_n&=a+ar^1+ar^2\cdots+a^{n-1}\\&=\sum^n_{k=1}ar^{k-1}\end{aligned}$$ 1. common ratio $r$이 1이 아닌 경우 다음이 성립. $$S_n = \frac{a(1-r^n)}{(1-r)}$$ 유도과정은 다음과 같음. $$\begin{aligned}S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n..

[Physics] 역학 문제 풀이

Problem 01 강 위 $50m$ 높이의 다리 위에서 소년이 돌($10\text{kg}$)/깃털($1\text{g}$)을 던지고 있음. (a) 돌과 깃털을 위방향으로, (b) 돌과 깃털을 아래방향으로 속력 15m/s 으로 던지면, 돌과 깃털의 각각 수면 위에 떨어지는 순간의 속력은 얼마인가? (자유낙하로 계산하시오.) a) $$ \begin{aligned} v^2&=v_0^2 + 2as \\ v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\ &=\sqrt{(+15)^2 + 2(-9.8)(-50)} \\ &=-34.7 (\text{m/s})\end{aligned} $$ b) $$ \begin{aligned} v^2&=v_0^2 + 2as \\ v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\ &=\sqrt{(..

[Math] Odds (승산, 승률)

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p}$$ where $p$is the probability of belonging to class of $1$ (success). odds의 range는 $[0,\infty]$ 임. (symmetric) probability가 $[0,1]$ 것과 차이가 있음. 어떤 event가 일어날 가능성에 대한 정량적 정보를 제공하나, probability와는 다름. likelihood, odds, probability 모두 어떤 event가 일어날지에 대한 정량적 비교는 가능하나 조금씩 차이가 있음. case control study에서 매우 probability가 낮은 경우에 대한 risk ratio를 odds ratio가 대체하기도 함. Ex NC의 우승 odds..

[ML] Likelihood (우도)

Likelihood (우도)더보기likelihood는 probability처럼 가능성을 나타낸다는 비슷한 측면도 있으나 다음과 같은 차이가 있음.probability처럼 likelihood는 상대적 비교는 가능 (즉, likelihood가 클수록 해당 event가 발생할 가능성이 큼)하나모든 likelihood를 더한 값이 1이 나오지 않는다는 점에서 차이가 있음.현재 알려진 사전확률 $P(H_i)$를 바탕으로 Event $E$가 일어날 가능성기존 모델 혹은 가설($H_i$) 이 맞다는 가정하에 해당 관측(or Event) $E$가 일어날 가능성$$P(E|H_i)$$예를 들어, 조리가 완료된 라면에서 스프를 면보다 먼저 물에 넣었는지, 아니면 면을 스프보다 먼저 넣었는지를 구분할 수 있는지에 대한 가설이..

[Math] Normal Equation : Vector derivative(Numerator Layout)를 이용한 유도

Orinary Least Square는 다음과 같은 최소화 문제임. $$\underset{\textbf{x}}{\text{argmin}}\|\textbf{b}-A\textbf{x}\|_2^2$$ $\|\textbf{b}-A\textbf{x}\|_2^2$를 전개하면 다음과 같음. $$\begin{aligned}\|\textbf{b}-A\textbf{x}\|_2^2&=(\textbf{b}-A\textbf{x})^T(\textbf{b}-A\textbf{x})\\ &=(\textbf{b}^T-\textbf{x}^TA^T)(\textbf{b}-A\textbf{x})\\ &=\textbf{b}^T\textbf{b}-\textbf{x}^TA^T\textbf{b}-\textbf{b}^TA\textbf{x}+\textb..

[Math] 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

필요조건, 충분조건, 필요충분조건 명제 (proposition)을 다룰 때 자주 나오는 애기임. 명제 (proposition)이란? 참(True)이나 거짓(False)를 판별할 수 있는 식(expression)이나 문장(statment). 실상은, premise와 conclusion의 두 집합간의 포함관계를 나타내는 문장으로 생각하는게 낫다. $p$, premise(전제) 와 $q$, conclusion(결론) 으로 구성됨. $p$ 이면, $q$ 이다. (전형적인 명제) 주로 $p$와 $q$의 관계는 function이 그러했던 것처럼 집합(set)을 이용하여 자주 설명됨. " $p$ 이면, $q$ 이다. 여기서 $p$와 $q$를 어떤 집합이라고 생각하자. 이 경우, 해당 명제가 참이 되기 위해선 $p$는..