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[Math] Lagrangian Primal and Lagrangian Dual

Standard form of Optimization Problem Equailty constraints와 Ineqaulity contraints를 가지고 있는 optimization problem (minimization의 경우)은 다음과 같이 표현된다. $$\begin{aligned}&\text{minimize }f(\textbf{x})\\ & \text{s.t:}\\ & g_i(\textbf{x}) \le 0, i=1,\dots,m \\ & h_j(\textbf{x})=0,j=1,\dots,k\end{aligned}$$ 여기서 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 임.이 standard form 의 optimization problem을 가르켜, 원래 풀어야하는 문제라는 뜻에서..

[Math] Upper Bound (상계) and Lower Bound (하계)

Upper Bound and Supremum Wolfram MathWorld에서 언급하는 Upper Bound (상계)와 Supremum(상한) 정의는 다음과 같음. A function $f$ is said to have an upper bound $c$ if $f(\textbf{x})\le c$ for all $\textbf{x}$ in its domain. The least upper bound is called the supremum. A set is said to be bounded from above if it has an upper bound. (real number로 한정하여서 애기한다면) $f$가 가질 수 있는 모든 값들이 $c$보다 작거나 같은 경우, $c$가 upper bound가 된다..

[SS] Ramp Function

수식 $$ r(t)=\left\{\begin{matrix} t, & t\ge 0\\ 0, & t

[SS] Signum function : 부호함수

수식 signum function은 sign 즉 부호를 출력해주는 함수로 $\text{sgn}$으로 표기됨. $$\text{sgn} (t)=\left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{t}{|t|}, & t\ne 0\\ 0, & t=0\end{matrix} \right.$$ $t=0$ 인 경우 부호가 없다는 뜻에서 0으로 지정된다. 다음으로도 많이 표시됨. $$\text{sgn} (t)=\left\{ \begin{matrix} 1, & t> 0\\ 0, & t=0 \\ -1,& t 위 식에서 보이듯이 signum 은 step function의 특별한 경우라고 생각할 수 있다. Waveform Note sgn은 special function에 속하며 odd function이..

[SS] Pulse Signal : Rect function

정의 $$\text{rect }(t)=\left\{ \begin{matrix} 1, & \text{for }|t|\dfrac{\tau}{2}\end{matrix}\right.$$ unit step의 경우와 마찬가지로 $|t|=\frac{\tau}{2}$인 경우 보통 $\frac{1}{2}$을 가지도록 정의되는 경우가 많음. $\tau=1$ 인 경우로 한정하여 $\text{rect}$라고 부르는 경우가 많음. $\text{rect}$는 대표적인 energy signal임. Frequency domain에서는 $\text{sinc}$ function이 된다. Waveform 위 그림은 width가 $\tau=2a$ 인 Pulse Signal ($\text{rect}$ function이라고도 불림)을 보여준다..

[SS] Unit Step Function (Heaviside Step Function)

수식$$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t $t=0$인 경우의 값은 일반적으로 $\frac{1}{2}$를 취함항상은 아니며, $t=0$일 때, $1$을 가지는 경우도 많음. 계단 모양이라는데에서 step이라는 이름이 붙음. Unit Step Function은 다른 이름으로 Heaviside step function 이라고도 불림 위대한 공학자이자 수학자인 Heaviside를 기념하기 위해 그의 이름을 붙여서 사용되는 경우가 많음.Elementary Function이 아닌 가장 간단한 형태의 Special Function이라고도 볼 수 있음.https://dsaint31.tistory.com/682 [Math] Function의 분류: 작성중Function은 크게 "..