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[SS] Shift, Reflecting, Scaling Operation

Shifting Signal을 지연(delay) 또는 선행(advanced)시키는 연산을 의미함 (보통 delay를 기준으로 처리) $$x(t) \rightarrow x(t-t_0)$$ 위 식은 $t_0$로 shift 시킨 것을 의미함. (delayed) 다음 그림은 $x(t)=t^2$ signal과 이를 1, 2로 shift 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임. Reflecting 반사라고도 애기를 하며, time signal의 경우 대부분 horizontal reflection을 의미함. $$x(t) \rightarrow x(-t)$$ 위 식은 $x(t)$로 reflection 시킨 것을 의미함. 다음 그림은 $x(t)=0.3t+1$ signal과 이를 reflection shift ..

[SS] Continuous Signals vs. Discrete Signals

1. Continuous SignalSignal을 수학적으로 다룰 때는 function으로 표현하기 때문에,Continuous Signal이란 Continous Variable들에 대해 정의된 function으로 표기되는 signal이다.Continuous variable이란, 무한한 수의 다른 값을 가질 수 있는 variable로 정의됨. 2023.06.22 - [.../Math] - [Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity0, \ \ \exists \delta>0 \mbox{ such that if } \mathbf x \in S \mbox{" data-og-host="dsaint31.tistory.com" data-og-source-..

[Math] Lagrange Method or Lagrange Multiplier Method

Lagrange Method or Lagrange Multiplier MethodLagrange Method (or Lagrange multiplier method, 라그랑지 승수법)은equality constraints를 가진 optimization problem의 solution을 쉽게 구하는 방법을 가르킨다. 이를 좀 더 자세히 애기하면,equality constraint를 1개 이상을 가지는 optimization problem을non-constraint의 optimization problem의 형태로 바꾸어주어훨씬 쉽게 optimal solution을 구하게 해준다.엄밀히 애기하면, optimal solution이 되기 위한 necessary condition을 이용하기 때문에 반드시 구한다고 ..

[Math] Tangent Vector

Tangent VectorTangent Vector 는 주어진 점에서 곡선 또는 곡면에 접하는 벡터로, 그 점에서의 곡선이나 곡면의 접선 방향을 나타냄. 이는 주로 매개변수화된 곡선 또는 곡면에서 정의됨. 물리 등에서 많이 사용되는 경우는Vector function $\textbf{r}(x)$, $\bf{r}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, 의 Derivative(도함수)로써,해당 derivative를 tangent vector라고 부름. $$\textbf{t}(x) = \textbf{r}^\prime(x)$$Scalar function의 derivative는 tangent (접선, 기울기)가 됨.Multi-variate function (=multi-variable single-v..

[Math] Chain Rule (연쇄법칙)

What is the Chain Rule Chain rule은 composite function에 대한 derivative를 구하는 방법임. $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g(x)\right)\right]= f^\prime \left(g(x)\right) g^\prime(x)$$ Chain Rule of Multi-variate Functions $n$-dimensional vector $\bf{x}$의 각 component가 $x_i(t)$라는 scalar function이라면, $\bf{x}$를 input으로 하는 multi-variate function $z=f(\textbf{x})$의 scalar $t$에 대한 ordinary derivative는 다음과..

[Math] Gradient (구배, 기울기, 경사, 경도) Vector

Gradient (구배, 기울기, 경사, 경도), $\nabla f(\textbf{x})$ multivariate function (=scalar field) $f(\textbf{x})$에서 input $\textbf{x}$의 미세한 변화에 대해 output이 1) 가장 가파르게 증가하는 direction(방향)과 2) 그 증가하는 변화율의 정도를 magnitude(크기)로 가지는 vector field (multivariate vector valued function)를 구하는 것이 바로 Gradient $f(\textbf{x})$=$\nabla f(\textbf{x})$임. Gradient를 통해, scalar field $f(\textbf{x})$(← Potential Energy, Voltage,..