Singular Value Decomposition$$A=U\Sigma V^\top$$Rank가 $n$인 matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}\text{ where }m\ge n$ 에서orthonormal vector set$\{\textbf{v}_1, \dots, \textbf{v}_n\}, \{\textbf{u}_1, \dots \textbf{u}_n\}$ 와non-negative scalr set $\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$에 대하여$$A\textbf{v}_i=\sigma_i\textbf{u}_i \text{ where } i=1,2,\dots,n$$를 만족한다고 가정하자.Singular Values and Left/Right Singular ..

경우의 수를 세는 방법의 기본Factorial, Permutation and CombinationFactorial (계승)서로 다른 물건들을 모두 순서를 주어 나열할 수 있는 모든 경우의 수.$$ n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1 $$Factorial function의 경우, domain이 natural number만 가능.Factorial function을 complex number의 domain으로 확장한 것이 아래의 Gamma function임.$$ \begin{aligned}\Gamma(z)&=\int^\infty_0 x^{z-1} e^x dx, (\text{Re}(z)>0)\\&=(z-1)!, (\text{if }z\text{ is natura..

Cartesian Product (or Descartes Product)공집합(empty set, null set)이 아닌 여러 sets를 이용하여 새로운 set을 만드는 연산. Cartesian product는operand인 여러 집합들의각 elements를  원소(component, element)로 하는 tuple을 element(원소)로 하는 set을 반환함. 2개의 집합 $A$, $B$의 Cartesian product $A\times B$는 다음과 같음.$$A\times B= \{ (a,b) | a \in A, b\in B\}$$ $n$ 개의 집합 $A_1, A_2, \dots, A_n$의 Cartesian Product는 다음과 같이 정의됨.$$\displaystyle \prod^n_{i=1..

Linear Combination과 Affine CombinationLinear Combination은 Affine Combination의 generalization이라고 볼 수 있음.이는 Affine Combination이 Linear Combination의 Special Case임을 의미함. Linear Algebra에서 Linear Combination은 다음과 같음.Vector $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\cdots,\textbf{v}_p$ in $\mathbb{R^n}$ 들의 Linear Combination $\textbf{y}$의 정의는 아래와 같음.$$\textbf{y}=c_1\textbf{v}_1+\cdots+c_p \textbf{v}_p$$where, $c_1,c_..

어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..

1. Aliasing을 피하기 위한 적절한 샘플수가 필요한 이유Signal을 sampling할 경우,sample의 갯수 $N$를 제한 (= signal의 길이가 제한)할 경우,대응하는 spectrum에서 aliasing이 발생하게 됨(신호의 측정시간이 고정된 경우 $N$을 클수록 보다 높은 주파수 성분을 획득할 수 있음.)signal에서 원하는 주파수대역 내에서는 aliasing이 일어나지 않도록 하는 것이 최선임.측정시간이 고정된 상태에서 실제 측정된 $N$을 크게 증가시킬수록 specturm이 중첩되는 부분은 줄어든다.단, 이 경우 샘플의 수 ($N$)가 늘어나서 계산량이나 저장공간 등이 늘어나는 등의 단점이 있으므로 적절한 길이 $N$이 필요함.2. zero-padding: Frequency Res..