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[SS] Differential Equation and Responses (zero-input, zero-state, natural, forced) w/o Laplace Transform

문제 다음 미분방정식 의 시스템이 있다고 하자 $$ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\frac{dx(t)}{dt} $$ 아래와 같은 입력과 초기조건에서 zero-state response (초기조건이 0.) zero-input response (input이 0.) natural response (system mode만으로 구성.) forced response (input signal에만 의한 항으로 구성.) 를 구하라. input signal $$ x(t)=t^2+5t $$ initial conditions $$ y(0^-)=2 \\ \frac{dy(0^-)}{dt} = 3 $$ Sol 1. Classic Method Homogeneous Soluti..

[SS] Differential Equation and Response (zero-input, zero-state, natural, forced) w/ Laplace Transform

Laplace Transform을 이용한 Differential Equation을 풀기. 문제 다음 미분방정식 의 시스템이 있다고 하자. $$ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\frac{dx(t)}{dt} $$ 아래와 같은 입력과 초기조건에서 zero-state response (초기조건이 0.) zero-input response (input이 0.) natural response (system mode만으로 구성.) forced response (input signal에만 의한 항으로 구성.) 를 구하라. input signal $$ x(t)=t^2+5t $$ initial conditions $$ y(0^-)=2 \\ \frac{dy(0^-)}{..

[SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

Differential Equation은 3가지의 subsystem을 조합하여 구현할 수 있음. 1. adder : 흔히 입력이 2개의 signal이고 출력은 두 입력 singal들을 더한 signal임. 2. multiplier : scalar mulitplier로 승수가 scalar인 곱셈기. 입력 singal을 상수배하여 출력. 해당 상수배는 사전에 지정됨 3. integrator : 적분기로 적분이 수행되어 나옴. 입력이 $\dfrac{dx(t)}{dt}$ 인 경우, 출력이 $x(t)$로 적분되어 나옴. 위의 3가지 조합으로 differential equation을 기계적으로 표현하는 방법을 canonical form이라고 부르는데, 이 문서는 그중에서 1st canonical form (다른 이..

[SS] RLC Circuit & Differential Eq

다음의 RLC회로를 미분방정식으로 풀기 위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음. input : $x(t) = 10e^{-3t}u(t)$ (voltage) output : $y(t)$ (current) initial condition : $y(0)=0$, $V_c(0)=5$ $u(t)$ : unit step function. 1. Differential Equation KVL에 의하여 다음이 성립 $$\begin{aligned}{ V }_{ L }+{ V }_{ R }+{ V }_{ C }=x\left( t \right) \\ 1\frac { dy\left( t \right) }{ dt } +3y\left( t \right) +{ \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 } } }\int..

[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

다음과 같은 미분 방정식을 2nd canonical form으로 표현. $$\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$$ $D$ : 미분연산자. 우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거. $$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x(t)] \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t)$$ 중간변수 $v(t)$를 도입. $$(1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t) \\ y(t)=\frac{D^{-1}}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} x(t) \\ y(t) = D^{-1} \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} \\ y(t) = D^{-1} v(t)..

[SS] Causal LTI System and Convolution

LTI system이 causal인 경우, impulse response $h(\tau)$는 $\taut$일 때 값이 0임. 때문에 Causal LTI System의 출력을 구하는 Convolution의 범위는 $(-\infty, \infty)$를 모두 처리할 필요 없음. 즉, $h(\tau)$와 $x(t-\tau)$의 곱이 값을 가지는 영역만 고려하면 된다.