1. DTFT란?DTFT는 Discrete signal $x[n]$을 위한 Fourier Transform 으로continuous signal에 대한 Fourier Transform $X(\Omega)$과 구분하기 위해$X(e^{j\omega})$ (= $X(\omega)$)로 표기함.Continuous signal $x(t)$를 $T$ 간격으로 sampling을 하고 얻은 $x_s(t)=x_s(nT)=x[n]$으로부터impulse train의 CTFT와$x_s(nT)=x[n]$을 이용하여 유도가능함.$$X(\Omega) = \int^\infty_{t=-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \quad \text{CTFT} \\ X(e^{j\omega})=\sum^\infty_{n=-\inft..

Frequency domain에서의 signal (or function)의 representation (표현)의 경우, Basis(기저)로 특정 Frequency(주파수)에 대응되는 periodic function을 사용한다. 대표적으로, Fourier Transform의 경우, sinusoidal function이 사용됨. sinusoidal function이 discrete 해지는 경우, 주기성을 가지기 위해선 제한 조건이 발생한다. Continuous sinusoidal function은 항상 주기함수이지만, Discrete sinusoidal function은 그렇지 않다. 주기성을 가지려면 결론을 먼저 말하면, Discrete sinusoidal function이 주기성을 가지기 위해선 Freq..

"> 0. Pre-requiredments0-1. Region of Convergence (ROC)Laplace Transform의 ROC는 다음과 같은 특징을 가짐.유한한 구간내에 존재하며 발산하지 않는 signal :ROC가 모든 s 평면에서 수렴.right-sided signal (어떤 값 이상의 구간에서 존재하는 signal) :ROC가 “경계선” 기준 오른쪽 평면에 위치함 ◀unilateral에서 주로 다루는 signal.특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 값에 의해 supression 정도를 결정하는 $\sigma$가 결정됨 : "경계선"그리고 특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 $\sigma$보다 커야 하며 이는 "경계선" 기준 오른쪽 평면이 ROC가 됨을..

Cascade connection이 곱셈인 반면, Parallel transform은 덧셈임. $$H(s)=H_1(s)+H_2(s)+\cdots + H_n(s)\\h(t)=h_1(t)+h_2(t)+\cdots +h_n(t)$$ Example $$\begin{aligned}H(s)&=\frac{2}{s^2+3s+2} \\ &=\frac{A_1}{s+1}\frac{A_2}{s+2}\end{aligned} \\ \quad \\ \left.A_1+\frac{A_2(s+1)}{s+2}\right|_{s=-1}=\left.\frac{2}{s+2}\right|_{s=-1} \\ \therefore A_1=2 \\ \left.A_2+\frac{A_1(s+2)}{s+1}\right|_{s=-2}=\left.\frac{2..

Transfer function은 impulse response의 Laplace transform이고,time-domain에서의 convolution ($*$)은 s-domain에서 multiplication이므로다음이 성립.$$H(s)=H_1(s)H_2(s)\cdots H_n(s)\\ h(t)=h_1(t) * h_2(t)* \cdots * h_n(t)$$cascade connection의 경우,전체 시스템의 transfer function은직렬연결된 서브시스템들의 transfer function들의 곱에 해당함.Example$$\begin{aligned}H(s)&=\frac{s^2-3s+2}{s^3+6s^2+11s+6} \\\\ &=\left(\frac{s-2}{s^2+5s+6}\right)\left(..

Laplace transform 의 인수분해(factorization) 등을 이용하여 다양한 형태의 구현도(Implementation) 가 가능해짐. Differential Equation and Transfer Function $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$ $$s^2Y(s)+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_2s^2X(s)+b_1sX(s)+b_0X(s)$$ $$\Rightarrow (s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$ $$\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s..