[SS] System Representation w/ Laplace Transform

Laplace transform 의 인수분해(factorization) 등을 이용하여
다양한 형태의 구현도(Implementation) 가 가능해짐.

Differential Equation and Transfer Function

$$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$

$$s^2Y(s)+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_2s^2X(s)+b_1sX(s)+b_0X(s)$$

$$\Rightarrow (s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$

$$\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0}$$

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First Canonical Form

미분방정식을 이용한 경우와 유사함.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

[SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

Differential Equation을 직접 다루는 것이 아닌 이에 대한 Laplace Transform에서 출발한다는 차이만 있음.

$$(s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$

위의 식에서 $\frac{1}{s^2}$을 양변에 곱해주면, 다음과 같음.

$$(1+\frac{a_1}{s}+\frac{a_0}{s^2})Y(s)=(b_2+\frac{b_1}{s}+\frac{b_0}{s^2})X(s)$$

좌변에 $Y(s)$만 남기면, 다음과 같음.

$$Y(s)=(b_2+\frac{b_1}{s}+\frac{b_0}{s^2})X(s)-\frac{a_1}{s}Y(s)-\frac{a_0}{s^2}Y(s)$$

이는 아래의 1st canonical form 에 대응됨.

Second Canonical Form

$$Y(s)=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0}X(s)$$

2nd canonical form은 미분방정식의 경우와 마찬가지로 곱의 형태로 출발하고,
temporary variable로 $V'(s)$를 도입.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

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우선, 미분을 적분으로 바꾸는 처리를 해주어 $V(s)$를 구함.(2번째 행의 식을 볼 것.)

$$\begin{aligned}V'(s)&=\frac{1}{s^2+a_1s+a_0}X(s) \\ V(s)&=\frac{1}{\frac{s^2+a_1s+a_0}{s^2}}X(s) \\ &=\frac{s^2}{s^2+a_1s+a_0}X(s) \end{aligned} \\ \begin{aligned}Y(s) &= \frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0}X(s) \\ &= \frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2}\frac{s^2}{s^2+a_1s+a_0}X(s) \\ &=\frac{b_2s^2+b_1s^2+b_0}{s^2}V(s)\end{aligned}$$

위의 $V(s)$를 다음과 같이 정리할 수 있음.

$$s^2V(s)+a_1sV(s)+a_0V(s)=s^2X(s) \\ V(s)+\frac{a_1}{s}V(s)+\frac{a_0}{s^2}V(s)=X(s) \\ V(s)=-\frac{a_1}{s}V(s)-\frac{a_0}{s^2}V(s)+X(s)$$

이는 아래의 구현도 에 대응됨.

$Y(s)$는 다음과 같이 $V(s)$로부터 구현됨.

$$Y(s)=\left(b_2+\frac{b_1}{s}+\frac{b_0}{s^2}\right)V(s)$$

위의 $V(s)$와 $Y(S)$의 식을 연결하여 정리하면 Second Canonical Form임.

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Summary

First canonical form과 Second canonical form은 Transpose관계임(전치 관계, 혹은 쌍대 관계).

• 입력과 출력을 바꾸고
• 화살표의 방향을 반대

로 하면 동일함.

Differential Equation의 경우와 거의 같음.

2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] 1st canonical form and 2nd canonical form

[SS] 1st canonical form and 2nd canonical form