[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

CTFT 에서 Modulation Property란

$x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우,

$x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함.

 

$$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\right]$$

 

추가적으로,

$x(t) \sin (\Omega_0 t)$의 CTFT도 다음과 같이 구해짐.

$$\mathcal{F}\left[ x(t) \sin (\Omega_0 t) \right] = \frac{1}{2j} \left[ X(\Omega - \Omega_0) - X(\Omega + \Omega_0)\right]$$

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증명 ($\cos$ 경우만).

CTFT에 의해 다음이 성립.

$$\mathcal{F}\left[ x(t) \right] = X(\Omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t} \:dt$$

 

여기 $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT는 다음과 같음.

 

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \left[ x(t) \cos (\Omega_{0} t) \right] &= \int_{ -\infty}^{\infty}x(t) \cos (\Omega_{0} t) e^{-j\Omega t} \: dt \\ &= \int_{ -\infty}^{\infty}x(t) \left[ \frac{e^{j\Omega_0 t}+ e^{-j\Omega_0 t}}{2} \right] e^{-j \Omega t} \: dt \\ &= \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[ x(t) e ^{j\Omega_0 t} \right] + \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[ x(t) e ^{-j\Omega_0 t}\right] \\ &= \frac{1}{2} X(\Omega -\Omega_0) + \frac{1}{2} X(\Omega + \Omega_0) \end{aligned}$$

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Signal의 Modulation

DIP등에서 사용되는 signal의 Modulation은 조금 다른 의미로 사용된다.

다음 URL을 참고할 것.

2022.09.26 - [Programming/DIP] - [DIP] Modulation Transfer Function and Contrast

[DIP] Modulation Transfer Function and Contrast