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[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\right]$$ 추가적으로, $x(t) \sin (\Omega_0 t)$의 CTFT도 다음과 같이 구해짐. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \sin (\Omega_0 t) \right] = \frac{1}{2j} \left[ X(\Omega - \Omega_0) - X(\Omega + \Omega_0)\right..

[SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

Continuous Time Signal에서의 Impulse Function은 Dirac Delta Function $\delta(t)$임. 이는 다음을 만족함. $$\delta(t)=\left\{ \begin{matrix} \infty &,t=0 \\ 0 &,t \ne 0 \end{matrix}\right. \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt=1$$ 2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) 다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta..

[SS] A Short Table : Fourier Transform

https://dsaint31.tistory.com/363?category=1015725 $x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ ref. 2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5 $t^ne^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{n!}{ (a+j\omega)^{n+1}}$ 6 $\delta(t)$ $1$ ref. 7 $1$ $2\pi \delta(\omega)$ ref. 8 $e^{j\omega_0t..

[SS] 1장 관련 Quiz

1. 다음 함수의 주기는? $$x\left( t \right) =\cos { (t) } +3{ e }^{ -j2t }$$ 2. 다음 함수의 주기는? $$ x\left( t \right) ={ e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }\cos { \left( \frac { \pi }{ 3 } t \right) } $$ 3. $x(t)$가 주기함수일 때, 다음의 함수의 주기는 (비주기 함수일 수도 있음)? $$ y\left( t \right) ={ e }^{ x\left( t \right) } $$ 4. 다음의 참/거짓을 고르시오. 어떤 신호는 energy signal이면서 power signal일 수도 있다. [T/F] deterministic signal은 시간에 따른 값의 변화를 정확히 예측..

[SS] Separable signal

1-D signal (or 독립변수가 1개인 function)을 주로 다룰 때는 별로 나오지 않는 개념이나, 2-D signal인 영상들을 다룰 때에는 곧잘 나오는 개념. 2-D signal $f(x,y)$에 대해, 아래와 같은 등식을 성립시키는 1-D signal $f(x)$과 $f(y)$가 존재할 경우, $f(x,y)$를 separable 하다고 말할 수 있음. $$ f(x,y) = f(x)f(y)$$ 결국 $f(x,y)$가 자신의 2개의 independent variable(독립변수) $x$와 $y$에 대해 각각에 대해서만 영향을 받는 1-D function들의 곱으로 나타낼 수 있을 때 separable 하다고 애기할 수 있음. 신호처리나 영상처리 등에서 기본 함수로 나오는 impulse func..

[SS] 1장 관련 Quiz (풀이포함)

1. 다음 함수의 주기는? $$x\left( t \right) =\cos { (t) } +3{ e }^{ -j2t }$$ Sol. $$ \cos { (t) } \rightarrow { T }_{ 1 }=2\pi \\ 3{ e }^{ -j2t }\rightarrow \frac { 2\pi }{ { T }_{ 2 } } =2\rightarrow { T }_{ 2 }=\pi \\ \frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { \pi }{ 2\pi } =\frac { 1 }{ 2 } \\ T=\frac { { T }_{ 1 }{ T }_{ 2 } }{ GCD\left( { T }_{ 1 },{ T }_{ 2 } \right)} =2\pi $$ 주기 $T$와 주파수 $f$, 그..

[SS] Orhtogonal Function : sin

$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임. 다음을 참고. $$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left\{ \cos(m-l) t - \cos (m+l)t \right\} \right] \\ &= \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos (m-l)t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos(m+l)t dt \\ &= A \end{aligned}$$ $m \n..

[SS] Orthogonal function : inner product가 0

Orthogonal이란 어떤 두개의 대상이 Othrogoanl (직교)하다는 의미는 해당 두 대상의 inner product의 결과가 0이라는 의미이며, 두 대상이 각각에 대해 공유하는 component가 없음을 의미한다. 가장 쉬운 예가 orthogonal vector로서 column vector의 경우 다음이 성립하면 orthogonal이라고 한다. $$\textbf{u}=\langle u_1, \dots, u_N \rangle \\ \textbf{v}=\langle v_1, \dots, v_N \rangle \\ \textbf{u}\cdot\textbf{v}=\textbf{u}^T\textbf{v}= \sum_{i=1}^N u_i v_i = 0$$ $N$ : $\textbf{u}$와 $\textbf..

[SS] Spectrum 이란?

Spectrum은 어떤 복잡한 대상(or signal)을해당 대상(or signal)을 구성하고 있는 단순한 여러 개의 대상들(or singals)로 분해하여 표시한 것을 가르킴. 예를 들어 백색광의 경우, 여러 파장의 빛으로 구성되는데이들 여러 파장의 빛을 분리하여 표현한 것이 바로 백색광의 spectrum이 된다.(빛의 color는 파장에 따라 할당되기 때문에 프리즘 등을 통해 빛을 분해해서 보는 것이 바로 spectrum이라고 할 수 있다.)Specturm은 "여러 가지 signals가 혼재된 signal"로부터 정확히 어떤 signals가 있는지를 분리하여 표현한다. 참고로, 보통 Signal Processing에서 spectrum은 signal을 frequency domain으로 표현한 것을 가..

[SS] 1st canonical form and 2nd canonical form

1st canonical form(제1표준형)과 2nd canonical form(제2표준형)은 서로 transpose (전치관계)임 즉, 입력과 출력을 바꾸고 화살표의 방향을 반대로 하면 동일해짐. 위의 그림은 다음의 differential equation에 대한 canonical form임. $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+3\dfrac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\dfrac{dx(t)}{dt}$$ $$(D^2+3D+2)y(t)=Dx(t)$$ 각 canonical form에 대한 수식표현은 다음과 같음. 1st canonical form $$y(t)=-3D^{-1}y(t)-2D^{-2}y(t)+D^{-1}x(t)$$ 2nd canonical form $$v(t)= -3D^{-1}v(t)..