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[LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

Affine Combination여러 points (or vectors)를 linear combination 할 때, weights의 합을 1로 제한한 경우.즉, weights 의 합이 1로 제한된다는 조건이 붙은 특별한 linear combination임.정의주어진 vectors $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2,\cdots, \textbf{v}_p$와 scalars $c_1,\cdots, c_p$에 대해, affine combination은 weight로 사용되는 scalars가 $c_1+\cdots +c_p = 1$를 만족하는 linear combination.위의 정의에서 주어진 vectors를 position vector로 해석하면 points로 볼 수도 있음.Affine com..

[LA] linear combination

linear equation 에서 variables가 scalars가 아닌 vectors로 바꾸어진 형태와 비슷 (상수가 놓이는 left side가 아닌 right side)scalar를 component가 1개인 vector라고 생각할 수 있으므로, linear equaiton의 (right side의) 일반화 라고 봐도 된다.weighted sum이라고도 불림.2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Linear Equation (선형 방정식) [LA] Linear Equation (선형 방정식)linear equation(선형 방정식)은 variables(변수들) $x_1, \cdots, x_n$에 대한 equation(방정식)으로, $a_1, \cdots, a_n$..

[LA] Linear Independence (Linearly Indendent)

Ref. : Linear Algebra and its applications, 5th ed., David C. Lay, Chapter 1. Linear Independence An indexed set of vectors $\left\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots,\textbf{v}_p \right\}$ in $\mathbb{R}^n$ is said to be linearly independent if the vector equation $$ x_1 \textbf{v}_1+x_2 \textbf{v}_2+ \cdots +x_p \textbf{v}_p = \textbf{0} \tag{1} $$ has only the trivial solution (=only zero ve..

[LA] Linearly Independent and Affine Independent: Summary

선형 독립(Linear Independence):대상: vector set정의특정 vector set에 속한 vector 각각이 해당 vector set의 다른 vectors의 liner combination으로 (정확히) 표현될 수 없는 경우,해당 vector set을 linearly independent 라고 함.해당 vector set의 모든 vector들은 각각 자기 외의 다른 vectors로부터 파생될 수 없음.Linearly independent란해당 vector set의 모든 vector들이 서로에 대해 독립적으로 다른 vector들이 가지고 있지 않은 방향에 대한 정보를 가지고 있음을 의미.2024.02.16 - [.../Math] - [LA] Linear Independence [LA] ..

[LA] Singular Value (특이값)

Singular Value DecompositionRank가 $n$인 matrix $S\in \mathbb{R}^{m\times n}\text{ where }m\ge n$ 에서orthonormal vector set$\{\textbf{v}_1, \dots, \textbf{v}_n\}, \{\textbf{u}_1, \dots \textbf{u}_n\}$ 와positive scalr set $\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$에 대하여$$A\textbf{v}_i=\sigma_i\textbf{u}_i \text{ where } i=1,2,\dots,n$$를 만족한다고 가정하자.이때, positive scalar 인 $\sigma_1, \dots,\sigma_n$들을 matrix $A$의si..

[math] Factorial(계승), Permutation (순열) & Combination (조합)

경우의 수를 세는 방법의 기본 Factorial, Permutation and Combination Factorial (계승) 서로 다른 물건들을 모두 순서를 주어 나열할 수 있는 모든 경우의 수. $$ n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1 $$ Factorial function의 경우, domain이 natural number만 가능. Factorial function을 complex number의 domain으로 확장한 것이 아래의 Gamma function임. $$ \begin{aligned}\Gamma(z)&=\int^\infty_0 x^{z-1} e^x dx, (\text{Re}(z)>0)\\&=(z-1)!, (\text{if }z\text{ is..