Homogeneous Coordinates (동차 좌표)와 Projective Geometry (사영 기하학)1. 개요1-1. Homogeneous Coordinates의 정의와 특성Homogeneous Coordinates (동차 좌표)는 Euclidean Coordinates (유클리드 좌표) 시스템을 확장하여 Projective Geometry (사영 기하학)에서 사용되는 좌표 시스템임.이는 3차원 또는 2차원 Euclidean Space (유클리드 공간)의 점을 한 차원 더 높은 공간에서 표현하는 방법임.Projective Space $\mathbb{P}^2$는 평면(2차원)의 점을 homogeneous coordinates로 나타냄.$\mathbb{P}^2 = \mathbb{R}^3 - \mat..

Intersection and Ideal Point이 글에서는 homogeneous coordinates(동차 좌표)와 cross product(교차곱)을 이용하여 두 직선의 교점을 찾는 방법을 다룸.또한, 평행한 직선의 경우에 ideal point(이상점)이 나오는 경우도 다룸.두 직선의 교점을 구하는 방법단계별 설명1. Homogeneous Coordinates(동차 좌표):주어진 두 직선을 동차 좌표 $\mathbf{l}_1 = \begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\end{bmatrix}^\top$와 $\mathbf{l}_2 = \begin{bmatrix} a_2& b_2 & c_2\end{bmatrix}^\top$로 표현함.2. Cross Product Calculation(교차..

Weighted Least Sqaure는 각 샘플 포인트마다 weight을 다르게 주어 구하는 Least Square임. OLS는 모든 샘플 포인트의 weight이 같은 Weighted Least Square라고 볼 수 있음. OLS의 경우와 마찬가지로 closed form solution을 가짐.2022.06.01 - [.../Math] - [Math] Normal Equation : Vector derivative(Numerator Layout)를 이용한 유도 [Math] Normal Equation : Vector derivative(Numerator Layout)를 이용한 유도Orinary Least Square는 다음과 같은 최소화 문제임. $$\underset{\textbf{x}}{\text{..

Bootstrap Sampling을 이해하고 활용하기Bootstrap Sampling이란 무엇인가?Bootstrap Sampling은 통계학(Statistics)과 데이터 과학(Data Science)에서 널리 사용되는 강력한 방법론(Methodology) 중 하나임.이는 기존의 데이터를 활용하여 통계적 추정치(Statistical Estimates)를 계산하고 신뢰 구간(Confidence Intervals)을 추정하는 방법임.특히, 표본의 크기(Sample Size)가 작거나 데이터의 분포(Distribution)에 대한 가정이 어려운 경우에 유용함.Bootstrap Sampling의 기본 개념Bootstrap Sampling의 핵심 아이디어는 Resampling with Replacement(복원 ..

Continuous and Smooth FunctionOptimization에서 objective function과 constraint functions은 일반적으로 continuous 이면서smooth function (= 무한차수의 derivative를 구할 수 있는 function)임.Optimization이 statonarity 와 gradient와 같은 미분에 기반하기 때문임. 2024.03.27 - [.../Math] - [Math] Continuous 와 Differentiable 의 관계 [Math] Continuous 와 Differentiable 의 관계Differentiable and Continuous Function $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능 ($p$) 하면 $f(x)..

Optimization Problem의 종류1. Minimization Problem vs. Maximization Problem 일반적인 최적화 문제는 최소화 문제로 공식화될 수 있음. 이는 다음과 같이 표현됨:$$\underset{\boldsymbol{\omega}}{\min} f(\boldsymbol{\omega})$$이는 다음의 제약 조건에 종속됨:$m$개의 부등식 제약 조건: $g_i(\boldsymbol{\omega}) \le 0$$p$개의 등식 제약 조건: $h_j(\boldsymbol{\omega}) = 0$여기서:$f(\textbf{x})$: $\textbf{x}$의 실값 함수 (또는 스칼라 필드)$\textbf{x}$: 입력 열 벡터 $\textbf{x} = (x_0, x_1, \dot..