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[SS] Discrete Time Fourier Transform

DTFT는 Discrete signal $x[n]$을 위한 Fourier Transform 으로 continuous signal에 대한 Fourier Transform $X(\Omega)$과 구분하기 위해 $X(e^{j\omega})$ (= $X(\omega)$)로 표기함. Continuous signal $x(t)$를 $T$ 간격으로 sampling을 하고 얻은 $x_s(t)=x_s(nT)=x[n]$으로부터 impulse train의 CTFT와 $x_s(nT)=x[n]$을 이용하여 유도가능함. $$X(\Omega) = \int^\infty_{t=-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \quad \text{CTFT} \\ X(e^{j\omega})=\sum^\infty_{n=-\infty} ..

[SS] Discrete Sinusoidal Function : $2\pi$ 주기성

Frequency domain에서의 signal (or function)의 representation (표현)의 경우, Basis(기저)로 특정 Frequency(주파수)에 대응되는 periodic function을 사용한다. 대표적으로, Fourier Transform의 경우, sinusoidal function이 사용됨. sinusoidal function이 discrete 해지는 경우, 주기성을 가지기 위해선 제한 조건이 발생한다. Continuous sinusoidal function은 항상 주기함수이지만, Discrete sinusoidal function은 그렇지 않다. 주기성을 가지려면 결론을 먼저 말하면, Discrete sinusoidal function이 주기성을 가지기 위해선 Freq..

[SS] Poles and Zeros: Impulse Response and Frequency Response

Pre-requiredmentsRegion of Convergence (ROC)Laplace Transform의 ROC는 다음과 같은 특징을 가짐.유한한 구간내에 존재하며 발산하지 않는 signal :ROC가 모든 s 평면에서 수렴.right-sided signal (어떤 값 이상의 구간에서 존재하는 signal) :ROC가 “경계선” 기준 오른쪽 평면에 위치함 ←unilateral에서 주로 다루는 signal.특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 값에 의해 supression 정도를 결정하는 $\sigma$가 결정됨 : "경계선"그리고 특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 $\sigma$보다 커야 하며 이는 "경계선" 기준 오른쪽 평면이 ROC가 됨을 의미.left-si..

[SS] Parallel Connection : Transfer Function

Cascade connection이 곱셈인 반면, Parallel transform은 덧셈임. $$H(s)=H_1(s)+H_2(s)+\cdots + H_n(s)\\h(t)=h_1(t)+h_2(t)+\cdots +h_n(t)$$ Example $$\begin{aligned}H(s)&=\frac{2}{s^2+3s+2} \\ &=\frac{A_1}{s+1}\frac{A_2}{s+2}\end{aligned} \\ \quad \\ \left.A_1+\frac{A_2(s+1)}{s+2}\right|_{s=-1}=\left.\frac{2}{s+2}\right|_{s=-1} \\ \therefore A_1=2 \\ \left.A_2+\frac{A_1(s+2)}{s+1}\right|_{s=-2}=\left.\frac{2..

[SS] Cascade Connection : Transfer Function

Transfer function은 impulse response의 Laplace transform이고,time-domain에서의 convolution ($*$)은 s-domain에서 multiplication이므로다음이 성립.$$H(s)=H_1(s)H_2(s)\cdots H_n(s)\\ h(t)=h_1(t) * h_2(t)* \cdots * h_n(t)$$cascade connection의 경우,전체 시스템의 transfer function은직렬연결된 서브시스템들의 transfer function들의 곱에 해당함.Example$$\begin{aligned}H(s)&=\frac{s^2-3s+2}{s^3+6s^2+11s+6} \\\\ &=\left(\frac{s-2}{s^2+5s+6}\right)\left(..

[SS] System Representation w/ Laplace Transform

Laplace transform 의 인수분해(factorization) 등을 이용하여 다양한 형태의 구현도(Implementation) 가 가능해짐. Differential Equation and Transfer Function $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$ $$s^2Y(s)+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_2s^2X(s)+b_1sX(s)+b_0X(s)$$ $$\Rightarrow (s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$ $$\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s..

[Math] Normal Distribution (정규분포)

Normal DistirbutionGaussian Distribution, Laplace-Gaussian Distribution 라고도 불림.정의PDF는 다음과 같음. $$f(X)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}(e)^{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$$\mu$ : mean$\sigma$ : standard deviation PDF 이므로 probability를 다 더한 적분값은 1이 됨.$\mu$와 $\sigma$가 parameter인데, 이들이 0과 1인 경우 standard normal distribution (표준정규분포)라고 불림.일반 normal distribution에 z-Transform을 수행하면 standard normal distribution..

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

가장 유명한 irrational number로 대략 2.718281... 정도의 크기를 가짐.Definition$$ \begin{aligned}e&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \\ &= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}},\text{ where }t=\frac{1}{n} \end{aligned} $$사실, 전기, 전자, 신호처리 등에서 Euler의 수 (or Euler’s formula) 없이는 주파수 관련된 수식 대부분을 사용할 수 없다. 이 Euler's constant를 이용한 Euler's identity : Trigonometric functions 와 complex exponential functions를 ..

[Math] Poisson Distribution (포아송분포)

Poisson Distribution이란? 아주 가끔 일어나는 사건(trial)에 대한 확률 분포 : 방사선 검출에 주로 사용되는 확률분포라 의료영상에서는 매우 많이 사용됨. 전체 인구수에서 연간 백혈병으로 사망 건수 특정 지역에서 발생하는 살인사건 건수나 군대의 연간 사망건수 Poisson distribution에서 평균 발생 건수(mean)가 $\lambda$인 경우에 $x$번 발생할 확률은 다음과 같음. (Poisson distribution의 PMF) $$ \text{Poisson}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} $$ 이는 binomial distribution에서 $N$을 무한대로 보내고, mean이었던 $\mu=Np=\lambda$로 치환하여 ..

[SS] Convolution with an shifted impulse

shifted impulse와 convolution은 결국 shifting 연산임 $t_0$로 shifting을 시킨 impulse function $\delta(t-t_0)$과의 convolution은 결국 같은 $t_0$만큼 signal을 shifting하는 것으로 볼 수 있음. $$f(t)*\delta(t-t_0) = f(t-t_0)$$ 증명 $$ \begin{aligned} f(t)* g(t) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\color{red}{\tau}) g(\tau) d \tau \\ f(t)* \delta(t-t_0) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\tau) \delta(\tau - t_0) d \tau \\ &= \int^\infty_{-\inft..