Definition: Rank ◁ matrix 속성The rank of a matrix $A$, denoted by rank $A$,is the dimension of the column space of $A$.Matrix를 이루는 Column Vectors에서 Linearly Independent 인 것들의 수를 의미Row Space의 Dimension 의 경우를 강조하여 Row Rank라고 부르고,Column Space의 경우를 강조하여 Column Rank라고도 부르는 경우가 있으나,동일한 Matrix에 대해 이 둘은 같기 때문에 그냥 Rank라고 지칭하는게 일반적임. $m \times n$ Matrix $A$에서 다음이 성립. $$ \text{Column Rank}(A) \le n \\ \text..

$n$ dimension의 real projective space $\mathbb{P}^n$는 다음과 같은 set(집합)임.$$\mathbb{P}^n = \mathbb{R}^{n+1} - \mathbf{0} $$Projective space 에서는 duality가 성립하여,해당 space에 속하는 element인 vector들은point 일수도 있고, line일수도 있음(point에서 성립하는 것은 line에서도 성립:duality)2024.06.28 - [.../Math] - [Math] Duality of Projective Geometry [Math] Duality of Projective Geometryprojective geometry(사영기하학)에서 duality(이중성) 는point(점)과 ..

Hypothesis Testing 에서 Conservative Approach (보수적 접근법)란?Hypothesis(가설검정)에서 Conservative Approach(보수적인 접근방식)은오류를 최소화하고결과의 신뢰성을 극대화하기 위해보다 엄격한 기준을 적용하는 방법을 가리킴.일반적으로 주로 1종 오류(Type I Error)를 줄이는 데 중점을 두는 경우를 Conservative Approache라고 함.1. Features of a Conservative Approach낮은 Significance Level $\alpha$ 설정:관례적으로 Significance Level은 0.05로 설정되지만,Conservative Approach에서는 이보다 낮은 값(예: 0.01 또는 0.001)으로 설정되..

Matrix Multiplication for Cross Product특정 vector와의 cross product를 matric multiplication의 형태로 표현하기도 한다. 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 Cross Product(교차곱 or 벡터곱) $\mathbf{a} \times \mathbf{x}$는 다음과 같이 나타낼 수 있음:$$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = [\mathbf{a}]_\times \mathbf{x} $$좀더 풀어서 기재하면 다음과 같음. $$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{2} x_{3} - a_{3} x_{2} \\ a_{3} x_{1} - a_{1} x_{3} ..

Duality of Projective Geometryprojective geometry(사영기하학)에서 duality(이중성) 는point(점)과 line(직선) 사이의 역할을 교환해도 성질이 변하지 않는 관계를 의미함 이 글은 projective geometry에서 duality(이중성)를 예를 통해 설명함.duality(이중성)의 기본 원리projective geometry(사영기하학)에서의 duality(이중성)는 다음과 같은 방식으로 정의됨:point과 line의 interchange(교환):어떤 theorem(정리)가 point에 대해 성립(true)한다면,그 theorem에서 point를 line으로, line을 point로 바꾸어도 성립함. Example 0Original TheoremTh..

Vector $\mathbf{x}$ 와 Matrix $A$가 주어졌을 때,$\mathbf{x}^\top A^\top A \mathbf{x}$의 minimum (or lower bound)를 구하는 방법에 대해Singular Value Decomposition(SVD)와 Eigenvalue Decomposition(EVD)을 이용하는 방법. $\underset{\mathbf{x}}{\text{argmin }}\mathbf{x}^\top A^\top A\mathbf{x}$는Total Least Squares 등에서 많이 애용되는 형태의 최소화 문제임.SVD를 이용한 lower bound 계산 방법SVD는 matrix을 세 개의 행렬로 분해하는 방법임.행렬 $A$의 SVD는 다음과 같이 표현됨:$$A = U ..