[LA] Matrix Multiplication for Cross Product

Matrix Multiplication for Cross Product

특정 vector와의 cross product를
matric multiplication의 형태로 표현하기도 한다.

 

벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 Cross Product(교차곱 or 벡터곱) $\mathbf{a} \times \mathbf{x}$는 다음과 같이 나타낼 수 있음:

$$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = [\mathbf{a}]_\times \mathbf{x} $$

Matrix 곱 표현: skew-symmetric matrix 이용

좀더 풀어서 기재하면 다음과 같음.

 

$$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{2} x_{3} - a_{3} x_{2} \\ a_{3} x_{1} - a_{1} x_{3} \\ a_{1} x_{2} - a_{2} x_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $$

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이를 다음과 같이 간략하게 표현하기도 함.

$$\left[ \mathbf{a} \right]_\times \textbf{x}=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$

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cross product에서 다음을 명심하자!

• $\mathbf{x} \times \mathbf{x} = \mathbf{0}$ : 자기자신과의 cross product는 zero vector.
• $\mathbf{a}^T(\mathbf{a} \times \mathbf{b} )= 0$ : cross product 결과물은 operand인 두 벡터에 대해 항상 orthogonal

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종합

$$\begin {aligned}
\vec { a } \times \vec { b } &=\left( { \left| \vec { a } \right| }\left| \vec { b } \right| \sin { \theta } \right) \vec { n } \\
\quad &= \begin{vmatrix} \vec {i} & \vec {j} & \vec {k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix} \\
\quad &= \vec {i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} + \vec {j} \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix} + \vec {k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\
\quad &= \vec{i}(a_2b_3-a_3b_2)+\vec{j}(a_3b_1-a_1b_3)+\vec{k}(a_1b_2-a_2b_1)
\\ \end {aligned}$$

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같이보면 좋은 자료

2022.03.28 - [.../Math] - [Math] Vector (1)

[Math] Vector (1)

 

2024.07.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Skew-Symmetric Matrix 란

[LA] Skew-Symmetric Matrix 란

 

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