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[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

position vector $\textbf{x}$ (point $Q$)와 $\textbf{n}\cdot \textbf{p}+b=0$을 만족하는 position vector $\textbf{p}$들로 구성되는 평면(plane $P$)과의 거리는 다음과 같음. $$d=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x}+b|}{\|\textbf{n}\|}$$ where $\|\textbf{n}\|$ : $\textbf{n}$의 L-2 norm (or magnitude, length)임. (엄밀하게 쓰면, $\|\textbf{n}\|_2$) 증명 point $Q$와 plane $P$와의 거리는 plane equation과 projection을 이용하여 구할 수 있음. 2022.05.19 - [.../..

[Physics] Interaction : 방사선과 물질의 상호작용.

방사선에 대해 인체 구성물질의 상호작용은 간단히 생각하면 물(water)과의 상호작용과 매우 유사함 (특히, soft tissue의 경우.) 다음 표는 대표적인 상호작용들이 방사선의 에너지에 따라 물(water)에서 어떤 비율로 일어나는지를 보여줌. (어떤 상호작용으로 입사한 방사선의 에너지가 전달되는지를 보여주는 것으로 어떤 상호작용이 많이 발생하는지를 애기하는 것과 같음. $h\nu$ : 에너지 % Energy transfered (keV, MeV) Photoelectric effect Compton scattering Pair production 10 keV 99.9 0.1 0.0 30 93.2 6.8 0.0 50 62.8 37.2 0.0 100 10.4 89.6 0.0 200 1.0 99.0 0...

[Physics] Interaction : Pair Production

1.022MeV 이상의 incident photon(사실상 주로 γ-ray)에서만 나타나는 interaction(상호작용). electron(전자)와 positron(양전자)를 생성(←때문에 pair production으로 불림)함. 이 중 positron은 초기 가지고 있던 kinetic E를 다 잃게되면 반물질이기 때문에 주변 electron(전자)와 결합하여 annihilation이 일어남. annihilation이 일어나면, 관여한 positron과 electron이 소멸하고 각각의 질량에 해당하는 에너지인 511keV의 energy를 가진 annihilation photon 두 개가 서로에 대해 대략 180도 방향으로 방출됨 (운동량 보존법칙에 의해 180도 이루어짐). At rest (←운동E..

[Physics] Interaction : Coherent Scattering (or Rayleign Scattering)

Unmodified, classical, or elastic scattering 등등으로도 불림. 가장 큰 특징은 에너지를 잃지 않는 scattering이며 ionization을 일으키지 않음. 주로 낮은 에너지의 incident photon(←전자궤도의 전자를 탈출시키기 부족한 E의 photon)에서 발생하며 어떤 energy transfer가 일어나지 않으며(←때문에 coherent scattering으로 불림) 유일한 변화가 photon의 방향이 바뀌는 것임(때문에 unmodified scattering으로 불림). 일반적으로 방사선을 이용한 생체 영상에서 사용되는 에너지에서는 Coherent scattering은 주요 상호작용(major interaction)이 아님. 보다 자세한 내용은 다음 u..

[Physics] Interaction : Compton Scattering (Compton Effect)

Compton Scattering의 경우, Klein-Nishina 공식에 따라 산란된 photon(X-ray or γ-ray)과 recoil electron(or scattered electron)가 나옴. 아래 그림에서 D에 해당. Klein-Nishina 공식은 다음과 같음. $$E_\text{photon}^\text{scattered}=E_s=h\nu^\prime=\dfrac{h\nu}{1+\dfrac{h\nu(1-\cos{\theta})}{m_ec^2}}$$ $$E_{e^-}=E_\text{recoiled electron}=h\nu\dfrac{\dfrac{h\nu}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}{1+\dfrac{h\nu}{m_ec^2}(1-\cos{\theta})}$$ where $h..

[Physics] Interaction : Photo-electric Effect (광전효과)

Photoelectric effect(광전효과)의 경우, Photoelectron 더보기 X-ray 혹은 γ선의 photon이 가진 모든 energy를 소모하여, 전자궤도(주로 핵에 가까운 K-shell)돌던 전자를 photoelectron으로 만듦(=해당 전자를 궤도에서 탈출시킴) : 이때 photoelectron이 갖는 최대 운동 E는 X-ray 혹은 γ선의 photon이 가졌던 에너지에서 전자결합에너지를 뺀 값이 됨. Characteristic X-ray or Auger electron 더보기 phtoelectron 발생은 원자의 낮은 준위(=안쪽 전자궤도, 주로 K-shell)에 빈 자리(정공, hole)를 남기기 때문에 높은 준위(바깥쪽 전자궤도)의 전자가 해당 빈 자리를 채우게 되는 과정이 추..