[LA] Signal Space : Vector Space

Signal Space (vector space 의 일종)

Let $\mathbb{S}$ be the space of all doubly infinite sequences of numbers
(usually written in a row rather than a column):

$$\{y_k\}=(\dots, y_{-2},y_{-1},y_0,y_1,y_2, \dots)$$

vector addition

If $\{z_k\}$ is another element of $\mathbb{S}$, then the sum $\{y_k\}+\{z_k\}$ is the sequence $\{y_k + z_k\}$ formed by adding corresponding terms of $\{y_k\}$ and $\{z_k\}$.

scalar multiplication

The scalar multiple $c \{y_k\}$ is the sequence $\{cy_k\}$.

 

위와 같이 정의된 vector addition과 scalar multiple을 사용하여
$\mathbb{R}^n$과 같은 방법으로 vector space의 axiom들을 만족함을 보일 수 있음.

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$\mathbb{S}$는

• discrete (or sampled) signal들을 element로 가지는 set이며,
• 이들 signal을 vector로 $\mathbb{S}$를 vector space로 간주할 수 있다. 

많은 경우 $\mathbb{S}$는 signal space로 불리며,
linear algebra의 vector space에 대해 잘 정리된 theorem 및 기술들을 적용할 수 있다.

 

참고로, signal은 일반적으로 function으로 표현되기도 하는데,
이 의미는 해당 function을 $\mathbb{S}$의 한 element인 vector로 간주할 수 있다는 의미가 된다.

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References

https://www.amazon.com/Linear-Algebra-Its-Applications-5th/dp/032198238X: Ch04.01

Amazon.com

2022.04.05 - [.../Math] - [Math] Definition of Vector Space

[Math] Definition of Vector Space

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