[Math] Definition of Vector Space and Sub-Space

Vector 의 엄밀한(?) 정의는 Vector Space의 Element임.

즉, Vector를 제대로 이해하려면 Vector Space에 대한 정의를 확실히 이해해야 한다.

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Vector Space의 정의.

Vector Space는 아래를 만족하는 Non-Empty Set을 가르킴.

• Vector들을 Element로 가지는 Non-Empty Set(집합)임.
  • Vector Space의 Element를 Vector라고 부름.
• 다음과 같은 2개의 연산이 정의됨
  • Addition
  • Scalar Multiplication
• 위 두 연산은 다음의 10가지 axioms(공리)를 만족해야함.
  Vector space $V$에 속하는 모든 $\textbf{u}$, $\textbf{v}$, $\textbf{w}$와, 모든 scalar $c$와 $d$에 대해 다음이 성립.
  1. $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$의 addition (or sum)은 $\textbf{u}+\textbf{v}$라 표기되며
     그 결과 Vector 역시 $V$에 속함.
     즉, $V$는 Addition에 대해 Closed임=닫혀 있음)
  2. $\textbf{u}+\textbf{v} = \textbf{v}+\textbf{u}$ : Commutative
  3. $(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} = \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})$ : Associative
  4. $V$는 $\textbf{u}+\textbf{0}=\textbf{u}$를 만족하는 Zero Vector $\textbf{0}$를 반드시 포함함.
     (이 것이 $V$가 Non-Empty Set인 이유임, $\textbf{0}$는 Addition에 대한 항등원)
  5. $V$에 속하는 임의의 $textbf{u}$는 $\textbf{u}+(-\textbf{u})=\textbf{0}$를 만족하는 vector $-\textbf{u}$를 가짐. (Addition에 대한 Inverse, 역원를 가진다는 뜻).
  6. 임의의 scalar $c$와 $V$에 속하는 vector $\textbf{u}$간의 scalar multiplication은 $c\textbf{u}$라 표기되며 그 결과 vector도 $V$에 속함.
     즉, $V$는 Scalar Multiplication 연산에 대해 closed임(=닫혀있음).
  7. $c(\textbf{u}+\textbf{v}) = c\textbf{u} + c\textbf{v}$ : Distributive
  8. $(c+d)\textbf{u} = c\textbf{u} + d\textbf{u}$ : Distributive
  9. $c(d\textbf{u}) = (cd)\textbf{u}$ : Associative
  10. $1\textbf{u}=\textbf{u}$ (1은 Scalar Multiplication의 항등원)

Scalar를 Real Number ($\mathbb{R}$)로 제한하지 않고
Complex Number($\mathbb{C}$)로 확장할 경우,
Complex Vector Space가 되며
$\mathbb{R}$이 아닌 $\mathbb{C}$ 상의 Vector들을 다루게 된다.

 

위의 10개의 axiom들을 만족할 경우,

• zero vector $\textbf{0}$는 unique함. 1개 존재.
• $\textbf{u}$에 대해 negative인 $-\textbf{u}$역시 unique함. (각 Vector별로 Unique한 Negative를 가짐.)

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Subspace의 정의

Vector Space $V$의 Subspace $H$는 $V$에 대해 다음의 속성을 가진 Subset임.

1. $H$는 $V$의 Zero Vector $\textbf{0}$를 반드시 element로 포함함.
2. $H$는 Addition (Vector Addition)에 대해 닫혀있어야 함.
3. $H$는 Scalar Multiplicaton에 대해 닫혀있어야 함.

Subspace $H$는 단순한 Subset이 아닌,
그 자체로 vector space로서
$V$에서 정의된 addition과 scalar multiplication에 대해
vector space가 되기위해 만족해야하는 것들을 충족시킴.
때문에 다음이 성립.

• 모든 Subspace는 Vector Space이기도 함.
• 모든 Vector space는 Subspace라고 할 수 있음.
  (가장 크게 생각하면 자기자신에 대한 subspace임.)

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Theorem

If $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_p$ are in a vector space $V$, then $\text{Span }\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_p \}$ is a subspace of $V$

• $V$에 속하는 vector들의 임의의 subset $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_n$ 이 있다고 가정하자.
• 해당 subset의 모든 element vector들의 linear combinaton을 element로 갖는 $\text{Span }\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_n \}$은 위의 Theorem에 의해 $V$의 subspace가 된다.

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Reference

https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8?si=um5fkjHUwzBtBXp5

 

2022.09.30 - [.../Math] - [LA] \mathbb{R}^n, R-n : Vector Space: 가장 대표적인 vector space.

[LA] \mathbb{R}^n, R-n : Vector Space

 

2024.05.29 - [.../Linear Algebra] - [LA] Span (생성): Span이라는 용어는 상식임.

[LA] Span (생성)

 

https://www.amazon.com/Linear-Algebra-Its-Applications-5th/dp/032198238X : Ch04-01

Amazon.com

 

2022.09.30 - [.../Math] - [LA] Signal Space : Vector Space: 신호처리에 관심이 있다면 한번 봐도 괜찮음.

[LA] Signal Space : Vector Space

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2025.01.21 - [.../Linear Algebra] - [Summary] Linear Algebra (작성중)

[Summary] Linear Algebra (작성중)

 

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