[LA] Basis of Column Space and Pivot Columns

Basis of Column Space and Pivot Columns

행렬 $A$의 Pivot column들은 $A$의 column space $\text{Col }A$의 basis를 이룸.

• pivot column은 $A\textbf{x}=\textbf{b}$의 linear system(선형 연립방정식)의 관점에서 basic variable에 해당!
• 위 정리는 pivot column의 수가 바로 $A$의 rank임을 의미하며, 이 column space of $A$ (=rank of $A$)가 basic variable의 수와 같음을 애기함.
• 여기서 pivot column들은 $A$의 pivot column이지, $A$를 row reduce한 REF(row echelon form)에서의 pivot column이 아닌 점을 주의할 것 

위에서 REF와 원래 matrix의 column space는 다를 수 있기 때문임(같을 때가 거의 드물고, 대부분 다름) : 아래 예를 참고.

$$\begin{bmatrix}1 & 4 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & 12 & 1 & 5 & 5 \\ 2& 8 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 20 & 2 & 8 & 8\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

왼쪽의 Matrix를 $A$라고 할 경우, 해당 $A$의 REF는 오른쪽과 같음.

REF는 아래쪽 row(행)들이 모두 0이 되기 쉽기 때문에 REF가 이루는 column space는 $A$의 column space와 다르게 되기 쉬임( column space가 해당 matrix의 column vector들의 span임을 기억할 것.)

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Reference

Linear Algebra and Its Applications, 4th ed., David C. Lay, et al. : Ch04 - Theorem 6

https://www.amazon.com/Linear-Algebra-Its-Applications-5th/dp/032198238X

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