[Math] Definition : Random Process

Random Process

Random process(랜덤 프로세스)는 어떤 parameter로 인덱스(index)된 random variable의 모임
보통 무한개의 random variable들로 구성된 sequence임
set과 달리, index를 가지고 있다는 차이점을 가짐 (순서가 의미를 가짐).

• “index로 사용되는 parameter”는 ‘특정 공간’의 어느 좌표를 나타내는 vector ($\textbf{r}$) 또는 어느 시점을 나타내는 $t$ (scalar) 가 많이 사용됨.
• random process에서 위의 ‘특정 공간’은 sample space라고 불림.
• sample space(표본공간)은 random process에서 나올 수 있는 모든 결과들의 집합을 가르킴.
• 달리 말하면, Random variables(확률변수들)은 random process의 problem-independent representation이라고 할 수 있음.

Stochastic Process라고도 불림.

 

많은 경우, function으로 기재되며 다음과 같이 표현됨.

$$ f(e,\textbf{x}) \text{ or } f(\textbf{x}) $$

• $e$ : 해당 random process의 random variable과 관련된 sample space (~확률 실험)
• $\textbf{x}$ : random process의 index (여기선 일반화된 표현을 위해 vector사용.)

일반적으로 random variable에서 해당되는 sample space(or 확률 실험)을 생략하고 표기되는데, random process도 이를 따라, $f(\textbf{x})$로만 표기되는 경우가 많음.

대표적인 random process로는 Gaussian Process나 Markov Chain등을 들 수 있음.

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set(집합)으로 표현하면 다음과 같음.

 

Random Variable $X: \Omega \to S$ 에 대한 Random Process는 다음과 같음 ($S$는 sample space 또는 state space라고 불림).

1. Continuous Random Process: Random Variable $X$들로 구성된 set $\{ X_t | t\in [0, \infty) \}$.
2. Discrete Random Process: Random Variable $X$들로 구성된 sequence $\{X_n | n=0,1,2,\dots\}$.

 

Sample Space는 Random Experiment에서 발생가능한 events로 구성된 집합 이며,

State Space는 Random Process에서 발생가능한 모든 state로 구성된 집합 임.

 

Random Process는 시간에 따른 동적인 변화를 나타내는데 비해, Random Experiment는 정적인 단일 확률실험의 경우에 더 많이 사용되는 용어

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같이 보면 좋은 자료들

 

2022.10.14 - [.../Math] - [LA] Markov Chain

[LA] Markov Chain

 

https://freshrimpsushi.github.io/ko/posts/857/

확률과정이란?