[Math] Definition : Random Process

Random Process

Random process(랜덤 프로세스)는
어떤 parameter로 인덱스(index)된 random variable의 모임
보통 무한개의 random variable들로 구성된 sequence임
set과 달리, index를 가지고 있다는 차이점을 가짐 (순서가 의미를 가짐).

• “index로 사용되는 parameter”는
  • ‘특정 공간’의 어느 좌표를 나타내는 vector ($\textbf{r}$) 또는
  • 어느 시점을 나타내는 $t$ (scalar) 가 많이 사용됨.
• random process에서 위의 ‘특정 공간’은 sample space라고 불림.
• sample space(표본공간)은 random process에서 나올 수 있는 모든 결과들의 집합을 가르킴.
• 달리 말하면, Random variables(확률변수들)은 random process의 problem-independent representation이라고 할 수 있음.

Random Process는
Stochastic Process라고도 불리며,
시간 등의 index 에 따라 값이 변화하는 random variable들의 sequence임.

 

2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Sample Space (표본공간)

[Math] Sample Space (표본공간)

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Random Process 의 표기법 (function)

많은 경우, function으로 기재되며 다음과 같이 표현됨.

$$ f(e,\textbf{x}) \text{ or } f(\textbf{x}) $$

• $e$ : 해당 random process의 random variable과 관련된 sample space (~확률 실험)
• $\textbf{x}$ : random process의 index (여기선 일반화된 표현을 위해 vector사용.)

일반적으로 random variable에서
해당되는 sample space(or 확률 실험)을 생략하고 표기되는데,
random process도 이를 따라, $f(\textbf{x})$로만 표기되는 경우가 많음.

대표적인 random process로는 Gaussian Process나 Markov Chain등을 들 수 있음.

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set 으로 표기

set(집합)으로 표현하면 다음과 같음.

 

Random Variable $X: \Omega \to S$ 에 대한 Random Process는 다음과 같음
($\Omega$는 sample space, $S$는 state space임.):

1. Continuous Random Process: Random Variable $X$들로 구성된 set $\{ X_t | t\in [0, \infty) \}$.
2. Discrete Random Process: Random Variable $X$들로 구성된 sequence $\{X_n | n=0,1,2,\dots\}$.

 

Sample Space는 Random Experiment에서 발생 가능한 모든 sample point 로 구성된 set 으로,

발생가능한 모든 event(set of sample point, subset of sample space)를 포함하는 전체 집합임.

State Space는 Random Process에서 Random Variable이 가질 수 있는 모든 가능한 값(state)의 집합 으로
Random Variable의 range(치역) 임.

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Random Process vs. Random Experiment

Random Process는 시간에 따른 확률변수 값의 동적인 변화 (확률분포가 변하는게 아닌 확률분포를 따르는 확률변수의 값이 매 시간마다 확률에 따라 다른 값을 가짐)를 나타내는데 비해,

Random Experiment는 정적인 단일 확률실험(한번의 trial 에 초점을 맞춤)의 경우에 더 많이 사용되는 용어

 

2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Random Experiment (확률 실험, Trial, 시행)와 Event

[Math] Random Experiment (확률 실험, Trial, 시행)와 Event

 

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같이 보면 좋은 자료들

2022.10.14 - [.../Math] - [LA] Markov Chain

[LA] Markov Chain

 

https://freshrimpsushi.github.io/ko/posts/857/

확률과정이란?