[LA] Set of Real-valued Functions defined on a set of real number : Vector Space

어떤 실수(real number)들의 집합(or 실수들의 특정 구간) $\mathbb{D}$에 대해 정의된
모든 real-valued function들로 구성된 집합 $V$는
일종의 Vector space임.

• $V$ : vector space
• $\mathbb{D}$ : 함수의 domain(정의역)에 해당.
• 각각의 함수는 vector space의 element인 vector에 해당.
• real-valued function은 결과값이 실수인 함수를 가르킴.

Vector addition

일반적인 두 개의 real-valued function의 합과 같음.

합벡터 $\textbf{f}+\textbf{g}$는 다음과 같음.

$$\textbf{f}+\textbf{g}= \textbf{f}(t)+\textbf{g}(t)$$

where $t\in \mathbb{D}$

Scalar multiplication

$$c\textbf{f} = c\textbf{f}(t)$$ 

Zero vector

Vector space에서의 zero vector에 해당하는 함수는 다름아닌, 함수의 결과값이 모든 입력치에 대해 0인 함수를 가르킴.

$$\textbf{f}(t)=0 \text{ for all } t \in \mathbb{D}$$

Equality

두 함수가 같다는 것은 각 함수의 입력값이 같을 시 함수의 출력값이 같은 경우이며, 각 함수를 vector로 보면 해당 두 vector는 동일함.

$$\textbf{f}(t)=\textbf{g}(t) \text{ for all } t \in \mathbb{D}$$

---

$V$는 vector addition과 scalar multiple에 닫혀 있으며, zero vector를 포함하고 있다.

실제로 Vector space가 만족해야하는 axiom들을 모두 만족한다.

때문에, 함수들 간의 inner product, linearly independent, orthogonality등의 vector space에 익숙한 개념을 적용가능하다.