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[LA] 예제 : Eigen value, Eigen vector 구하기
Linear Algebra and Its Applications (5th ed.), David C. Lay, Pearson 2014 Chapter 7.4 Example 1 $A=\begin{bmatrix}4 & 11 &14 \\ 8 & 7&-2\end{bmatrix}$를 standard matrix로 가지는 linear transformatino $\textbf{x}\mapsto A\textbf{x}$에서 $\|A\textbf{x}\|$를 최대화시키는 unit vector $\textbf{x}$를 구하고, 해당 unit vector가 매핑된 vector $A\textbf{x}$의 length를 구하라. 해당 문제는 다음의 constrained optimzaion 문제임. $$\underset{\textb..
[SS] ROC of z-Transform
Zero, Pole and ROC 2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC z-Transform의 일반형은 다항식( polynomial)을 분자(numerator), 분모(denominator)로 가지는 분수 형태로 표현됨. $$ H(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\displaystyle\sum^M_{m=0}b_m z^{-m}}{\displaystyle 1+\sum^N_{n=1}a_nz^{-n}} $$ 이 때, nu dsaint31.tistory.com Region of Convergence (ROC, 수렴영역) z-..
[SS] z-Transform : Introduction
1. z-Transform이란? Laplace Transform의 Discrete Version (or Generalization of DTFT) Continuous Time Signal과 System에서 Laplace Transform의 역할을 Discrete Time Signal과 Discrete Time System에서 담당. 수식적으로 보면, DTFT (Discrete Time Fourier Transform)을 일반화(Generalization)한 것임. DTFT는 z-Transform의 special case임. 이는 FT이 Laplace Transform의 special case인 것과 비슷함. DTFT가 존재하지 않는 discrete signal에서도 z-Transform은 가능함. 단 a..
[SS] Resolution of DFT
DFT의 경우 spectrum도 discrete하게 존재하기 때문에 spectrum에서의 sampling interval(실제 값을 가진 샘플의 간격)이 지나치게 넓을 경우, Picket Fence Effect로 인한 문제점 발생. (=너무 듬성듬성하게 샘플링하면 문제가 되는 것과 같음) DFT의 Picket Fence Effect → 스펙트럼 샘플의 간격이 넓으면 실제 스펙트럼의 모양을 파악하기 어려움. → 스펙트럼의 해상도 (spectrum resolution)가 중요함!!! DFT에 의한 스펙트럼 해상도 → $x[n]$의 샘플 수에 의존 ( $\langle 2\pi \rangle $구간 고정됨) Zero Padding 참고로, 만약 time domain에서 $N_1$개의 유효 데이터가 있는데, 주파..
[LA] Properties of Hermitian Matrix
0. Definition of Hermitian Matrix 모든 entity들에 complex conjugate를 취하고 Transpose를 할 경우, 자기자신이 나오는 matrix. $$A={A^*}^T(=A^H)$$ 더보기 Hermitian symmetry가 성립하는 matrix라고 볼 수 있음. https://bme808.blogspot.com/2022/11/math-hermitian-symmetry.html Math : Hermitian Symmetry Hermitian symmetry는 complex function 또는 complex matrix에서의 대칭성 중 하나임. Hermitian Symmetry for Complex Function real number에서의 symm... bme80..
[SS] Discrete Convolution (Linear Discrete Convolution)
Convolution은 linear time invariant (LTI) system에서 zero-state response를 구하는데 사용되는 연산임. DIP 등에서는 Linear Shift Invariant (LSI) system에서의 output image를 구하는데 사용되며, 주로 spatial domain filter들을 직접 spatial domain에서 구하는데 사용됨 (box filter, sobel filter등등) DFT (Discrete Fourier Transform)에서는 실제로 cyclic convolution이 이루어지나, 여기선 linear convolution에 초점을 맞춘다. 더보기 cyclic convolution(or circular convolution)은 다음을 참..