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[SS] Laplace Transform : $\sin^2 \Omega_0 t u(t)$

$$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$$ 를 이용한다. $\sin^2 \Omega_0 t$는 다음과 같이 전개가 가능함. $$\begin{aligned}\sin^2(\Omega_0 t)&=\frac{1-\cos 2\Omega_0t}{2}\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\end{aligned}$$ 이를 (Unilateral )Laplace transform하면 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[\sin^2\Omega_0 t\right]&=\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\right]-\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\right]\\ &=\..

[SS] Laplace Transform : $\cos^2 \Omega_0 t u(t)$

$$\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$$ 를 이용한다. $\cos^s \Omega_0 t$는 다음과 같이 전개가 가능함. $$\begin{aligned}\cos^2(\Omega_0 t)&=\frac{1+\cos 2\Omega_0t}{2}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\end{aligned}$$ 이를 (Unilateral )Laplace transform하면 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[\cos^2\Omega_0 t\right]&=\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\right]+\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\right]\\ &=\..

[SS] Laplace Transform Table

Signal Laplace Transform RoC ... 1 $u(t)$ $\frac{1}{s}$ $\text{Re}(s)>0$ 2 $u(t)-u(t-a)$ $\frac{1-e^{-as}}{s}$ $\text{Re}(s)>0$ 3 $\delta(t)$ 1 all complex plane 4 $\delta(t-a)$ $e^{-as}$ all complex plane 5 $e^{-at}u(t)$ $\frac{1}{s+a}$ $\text{Re}(s)>-a$ 6 $\cos\Omega_0t u(t)$ $\frac{s}{s+\Omega_0^2}$ $\text{Re}(s)>0$ 7 $\sin\Omega_0t u(t)$ $\frac{\Omega_0}{s+\Omega_0^2}$ $\text{Re}(s)>0$ 8 $t^..

[SS] Ch04 Ex : Inverse Laplace Transform

1. 다음 $X(s)$의 Inverse Laplace Transform을 구하라. $$X(s)=\frac{8s^2-7s-6}{s^3-s^2-6s}$$ sol. $$\begin {aligned} X(s)&=\frac{8s^2-7s-6}{s^3-s^2-6s}\\ &=\frac{8s^2-7s-6}{s(s-3)(s+2)}\\ &=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s+2} \end {aligned}$$ distinct pole의 경우로서 다음과 같이 A,B,C를 구할 수 있음. $$ \begin {aligned} A&= \left. \frac{8s^2-7s-6}{(s-3)(s+2)} \right |_{s=0} \\ &= \frac{0-0-6}{-3\cdot 2} \\ &= 1 \end..

[SS] Cross Correlation

입력으로 주어진 두 개의 함수(or signal)의 상관관계(correlation, 또는 similarity 유사성)을 나타내는 함수(or signal)를 반환하는 연산. Cross correlation (흔히 correlation으로도 불림)의 수식은 다음과 같음 (1D cross-correlation) $$ x(t)*y(t)= \int_T x(\tau)y(\tau+t) d\tau $$ $*$를 cross correlation의 연산자 기호로 사용했으나 $\otimes$이 쓰이기도 하는등, 표준 기호가 없음을 주의. convolution과 달리 입력 중 한 function에 대한 반전이 이루어지지 않음. commutative하지 않음 (convolution과의 차이점 중 하나) 수식의 특성이라던지, 유..

[Math] Random Experiment (확률 실험, Trial, 시행)와 Event

Random Experiment 다음과 같은 속성을 지닌 자연·사회현상에 대한 관찰이나 인위적인 실험 및 Trial(시행) 실험의 결과(=event)는 미리 알 수 없다.(실험 및 시도를 해서 관측해야 알 수 있음) 단, 실험에서 일어날 수 있는 모든 결과의 종류는 사전에 알려져 있다. (=일어날 수 있는 모든 경우의 event는 알려져있음.) 이론적으로는 실험을 반복(같은 조건으로)할 수 있다. Event (사상, 사건) the outcome of a trial. subset of $S$ (sample space의 부분집합) 확률실험의 결과 어떤 Event에 속한 sample point가 발생시 해당 event가 발생했다고 한다. 2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Sample ..