...

[LA] Signal Space : Vector Space

Signal Space (vector space 의 일종)Let $\mathbb{S}$ be the space of all doubly infinite sequences of numbers (usually written in a row rather than a column):$$\{y_k\}=(\dots, y_{-2},y_{-1},y_0,y_1,y_2, \dots)$$vector additionIf $\{z_k\}$ is another element of $\mathbb{S}$, then the sum $\{y_k\}+\{z_k\}$ is the sequence $\{y_k + z_k\}$ formed by adding corresponding terms of $\{y_k\}$ and $\{z_k\}$...

[LA] Set of Real-valued Functions defined on a set of real number : Vector Space

어떤 실수(real number)들의 집합(or 실수들의 특정 구간) $\mathbb{D}$에 대해 정의된 모든 real-valued function들로 구성된 집합 $V$는 일종의 Vector space임. $V$ : vector space $\mathbb{D}$ : 함수의 domain(정의역)에 해당. 각각의 함수는 vector space의 element인 vector에 해당. real-valued function은 결과값이 실수인 함수를 가르킴. Vector addition 일반적인 두 개의 real-valued function의 합과 같음. 합벡터 $\textbf{f}+\textbf{g}$는 다음과 같음. $$\textbf{f}+\textbf{g}= \textbf{f}(t)+\textbf{g}(t..

[SS] Fourier Transform of Constant Function

Frequency domain에서 impulse function $\delta(\Omega)$에 대해 inverse Fourier transform (IFT)를 취해서 constant 1에 대한 Fourier transform (FT)를 구하는게 가장 쉬움. $\delta(\Omega)$의 IFT는 다음과 같음. $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} \delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = \frac{1}{2\pi}$$ $\delta(\Omega)$는 $\Omega=0$일 때만 값을 가지면, $\int^\infty_{-\infty}\d..

[SS] Fourier Transform of Unit Step Function

Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t [SS] Unit Step Function 수식 $$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t dsaint31.tistory.com 문제는 $u(t)$는 absolutely integrable하지 않아서 직접적으로 Fourier Transform(FT)를 못 구한다. 때문에 impulse function의 미분을 이용하거나 sgn function을 사용하여 구한다. (보통 table을 보거나 거의 외워서 푸는게 대부분이지만... 여기선 유도를 하려고 하니...) 여기선 sgn funct..

[SS] Fourier Transform of Signum

Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t

[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음. $$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_..