[SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

x[n] 에 대한 z-Transform 의 일반형과 zeros(원으로 표시)와 poles( 엑스심볼로 표시).

z-Transform의 일반형은 다항식( polynomial)을 분자(numerator), 분모(denominator)로 가지는 분수 형태로 표현됨.

$$
H(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\displaystyle\sum^M_{m=0}b_m z^{-m}}{\displaystyle 1+\sum^N_{n=1}a_nz^{-n}}
$$

이 때, numerator polynomial을 0으로 만드는 $z$의 값들과 denominator polynomial를 0으로 만드는 z의 값들을 각각 zeros, poles라고 부름.

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Zero (영점):

numerator polynomial(분자다항식)을 0으로 만드는 $z$를 가르킴.

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Pole (극점):

denominator polynomial(분모다항식)을 0으로 만드는 $z$를 가르킴.

z-Transform이 무한대가 되는 $z$임.

Finite-length signal(or FIR 시스템) 의 경우

• 기본 z-transform 표현에서는 분모가 1이므로 “표면적으로는” pole이 없음.

그러나 z-transform을 rational form으로 쓰면 항상 z=0 (origin)에서 pole이 존재함.

• 즉, FIR은 본질적으로 z=0에 N개의 pole을 갖는 rational function으로 표현됨.
• 유한한 길이의 신호의 경우, 모든 복소평면에 대해 z-Transform이 구해진다고 애기하지만 엄격히 말하면 z=0인 원점은 제외임.

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ROC (Region of Convergence)

z-Transform이 존재하는 $z$의 영역 ($z$는 복소평면에 존재하므로, 복소평면에서 z-Transform이 발산하지 않는 영역을 가르킴.)

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추가로 읽어보면 좋은 자료

https://dsaint31.tistory.com/entry/SS-ROC-of-z-Transform

[SS] ROC of z-Transform

2023.11.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Poles and Zeros: Impulse Response and Frequency Response

[SS] Poles and Zeros: Impulse Response and Frequency Response

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2022.11.30 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform: Introduction

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