[SS] ROC of z-Transform

Zero, Pole and ROC

2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

[SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

Region of Convergence (ROC, 수렴영역)

z-Transform은 Laplace Transform의 discrete version이라고 볼 수 있기 때문에, 마찬가지로 ROC가 존재함.

(Unilateral z-Transform의 경우, ROC가 없이 사용가능하나, Bilateral z-Transform의 경우 반드시 기재가 되어야함.)

 

이후 살펴볼 대표적인 세 경우에서 ROC는 다음이 성립.

• Right-side Signal의 ROC는 "무한대"를 포함.
• Left-side Signal의 ROC는 $z=0$(origin, 원점)을 포함.
• Two-side Signal의 ROC는 존재한다면 Ring의 형태임.

---

Right-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$x_R[n] = a^n u[n] , |a|<1$$

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.

$$\begin{align*} X_R(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n,\quad |az^{-1}|<1 \rightarrow|z|>|a| \\ &=\frac{1}{1-az^{-1}}\\&=\frac{z}{z-a} \end{align*}$$

 

공비(common ratio) 의 절대값이 1보다 작아야 수렴이 되며, 결국 $z$가 특정 범위에서만 선택가능함.

위의 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$|z|>a$$

• Right-side Signal의 경우, ROC가 무한대를 포함.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음.
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.

공비 : https://dsaint31.tistory.com/entry/Math-Geometric-Series-%EB%93%B1%EB%B9%84%EA%B8%89%EC%88%98-or-%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98

[Math] Geometric Series (등비급수 or 기하급수)

---

Left-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$x_L[n] = -a^n u[-n-1] , |a|<1$$

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.
• $$\begin{align*} X_L(z) &= -\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[-n-1]z^{-n} \\ &= -\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[-(n+1)]z^{-n} \\&= -\sum_{n=-\infty}^{-1} a^n z^{-n} \\&=-\sum_{n=-\infty}^{-1} (az^{-1})^n, \quad m=-n\\ &=-\sum_{m=1}^{\infty} (a^{-1}z)^m,\quad |a^{-1}z|<1 \rightarrow|z|<|a| \\ &=\frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}\\&=\frac{z}{z-a} \end{align*}$$

역시, 공비(common ratio) 의 절대값이 1보다 작아야 수렴이 되며, 결국 $z$가 특정 범위에서만 선택가능함.

위의 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$|z|<a$$

• Left-side Signal의 경우, ROC가 $z=0$을 포함.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음 (단위원도 마찬가지).
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.

앞서 살펴본 Right-side Signal과 Left-side Signal은 분명 다른 signal이지만 같은 z-Transform을 가지게 됨. 때문에 이 둘의 구분을 위해서 ROC(수렴영역)이 반드시 기재되어야 함.

 

---

Two-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$x[n] = a^n u[n]+a^{-n} u[-n-1] , |a|<1$$

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.

$$\begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[n] z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{-n} u[-n-1] z^{-n} \\&=\sum_{n=0}^{\infty} a^nz^{-n}+\sum^{-1}{n=-\infty}a^{-n}z^{-n},\quad m=-1\\ &=\sum{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n + \sum_{m=1}^{\infty} (az)^m,\quad |az^{-1}|<1 ,|az|<1\rightarrow|a|<|z|<\frac{1}{|a|} \\ &=\frac{z}{z-a}-\frac{z}{z-a^{-1}}\\&=\frac{(a-a^{-1})z}{(z-a)(z-a^{-1})} \end{aligned}$$

 

이 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$a<|z|<\frac{1}{a}$$

• Two-side Signal의 경우, ROC가 존재한다면 Ring형태임.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음.
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.