[SS] ROC of z-Transform

Zero, Pole and ROC

2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

[SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

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Region of Convergence (ROC, 수렴영역)

z-Transform은 Laplace Transform의 discrete version이라고 볼 수 있기 때문에, 마찬가지로 ROC가 존재함.

(Unilateral z-Transform의 경우, ROC가 없이 사용가능하나, Bilateral z-Transform의 경우 반드시 기재가 되어야함.)

 

이후 살펴볼 대표적인 세 경우에서 ROC는 다음이 성립.

• Right-side Signal의 ROC는 "무한대"를 포함.
• Left-side Signal의 ROC는 $z=0$(origin, 원점)을 포함.
• Two-side Signal의 ROC는 존재한다면 Ring의 형태임.

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Right-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$ x_R[n] = a^n u[n] , |a|<1$$

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.

$$ \begin{align*} X_R(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n,\quad |az^{-1}|<1 \rightarrow|z|>|a| \\ &=\frac{1}{1-az^{-1}}\end{align*} $$

 

 

right-sided 신호는 $\displaystyle X(z)=\sum^\infty_{n=0}x[n]z^{-n}$이기 때문에
$z^{-1}$의 기반의 등비급수임. 때문에 $z^{-1}$를 등비급수의 변수로 사용.

 

공비(common ratio ,$\frac{a}{z}$) 의 절대값이 1보다 작아야 수렴이 되며, 결국 $z$가 특정 범위에서만 선택가능함.

위의 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$|z|>a$$

• Right-side Signal의 경우, ROC가 무한대를 포함.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음.
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.

공비 :

2022.06.21 - [.../Signals and Systems] - [Math] Geometric Series (등비급수 or 기하급수)

[Math] Geometric Series (등비급수 or 기하급수)

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Left-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$ x_L[n] = -a^n u[-n-1] , |a|<1$$

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.

$$ \begin{align*} X_L(z) &= -\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[-n-1]z^{-n} \\ &= -\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[-(n+1)]z^{-n} \\&= -\sum_{n=-\infty}^{-1} a^n z^{-n} \\&=-\sum_{m=1}^{\infty} a^{-m}z^{m}, \quad m=-n \\ &=-\sum_{m=1}^{\infty} (a^{-1}z)^m,\quad |a^{-1}z|<1 \rightarrow|z|<|a| \\ &=\frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}\\&=\frac{z}{z-a} \\&=\frac{-\frac{z}{a}}{1-\frac{z}{a}} \end{align*} $$

 

left-sided signal의 경우 $\displaystyle X(z)=\sum^{-1}_{n=-\infty}x[n]z^{-n}$이므로
$z^{-(-1)}=z^1$ 등과 같이 $z$를 변수로 등비급수 전개를 해야함.

 

역시, 공비(common ratio, $\frac{z}{a}$) 의 절대값이 1보다 작아야 수렴이 되며, 결국 $z$가 특정 범위에서만 선택가능함.

위의 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$|z|<a$$

• Left-side Signal의 경우, ROC가 $z=0$을 포함.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음 (unit circle도 마찬가지).
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.

앞서 살펴본 Right-side Signal과 Left-side Signal은 분명 다른 signal이지만 같은 z-Transform을 가지게 됨.
때문에 이 둘의 구분을 위해서 ROC(수렴영역)이 반드시 기재되어야 함.

 

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Two-side Signal

예를 들어 다음 함수가 있다고 하자.

$$ x[n] = a^n u[n]+a^{-n} u[-n-1] , |a|<1$$

• 앞서의 예제에서 right-sided signal은 동일함.
• 단, left-sided signal은 다름에 주의 (때문에 ROC도 달라짐)

이 함수의 z-Transform 는 다음과 같음.

• Sol.

$$ \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n u[n] z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{-n} u[-n-1] z^{-n} \\&=\sum_{n=0}^{\infty} a^nz^{-n}+\sum^{-1}_{n=-\infty}a^{-n}z^{-n},\quad m=-1\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n + \sum_{m=1}^{\infty} (az)^m,\quad |az^{-1}|<1 ,|az|<1\rightarrow|a|<|z|<\frac{1}{|a|} \\ &= \frac{1}{1 - a z^{-1}} + \frac{a z}{1 - a z}. \\ & =\frac{(a-a^{-1})z}{(z-a)(z-a^{-1})} \end{aligned} $$

 

 

 

 

이 경우의 ROC는 다음과 같음.

$$a<|z|<\frac{1}{a}$$

• Two-side Signal의 경우, ROC가 존재한다면 Ring형태임.
• 위의 그림에서 점선(경계부분)은 ROC에 포함되지 않음.
• Pole (x기호로 표시됨)은 ROC에서 제외됨.

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같이보면 좋은 자료

2022.11.30 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform: Introduction

[SS] z-Transform: Introduction