[SS] z-Transform : Transfer function

z-Transform의 Transfer function 의 성질

z-Transform의 Transfer function $H(z)$은 다음을 만족함.

1. $H(z)=\sum^\infty_{n=-\infty}h[n]z^{-n}$
   • $H(z)$는 impulse response $h[n]$의 z-Transform
2. $y[n]=H(z)z^n$
   • impulse response가 $h[n]$인 LTI system에 $z^{n}$을 입력한 경우 출력이 $H(z)z^n$이 나옴.
3. $H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$
   • LTI system에서의 입력과 출력의 z-Transform들의 비(ratio).

이 중 2번의 경우를 조금 자세히 살펴보면 다음과 같음.

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Linear Transfer Invariant (LTI) System 을 이용하여 z-Transform 구하기.

Discrete signal $x[n]$을 입력으로 하고 $y[n]$을 출력으로 삼는 Linear Transfer Invariant (LTI) System이 있다고 하자.
해당 LTI시스템의 impulse response를 $h[n]$이라고 할 경우, 해당 impulse response의 z-Transform $H[z]$는 다음과 같음.

• 해당 시스템의 입력으로 $x[n]=z^n$을 입력(← 이는 impulse function에 대한 z-Transform을 입력한 것과 같음.)
• 이 경우 출력에서 $y[n]=H(z)z^n$이 성립함.

이 관계를 통해 시스템의 transfer function $H(z)$를 쉽게 구할 수 있음.

 

이에 대한 수식적 설명은 다음과 같음.

$$\begin{aligned}y[n]=\sum^\infty_{k=-\infty}h[k]\color{red}{x[n-k]}&=\sum^\infty_{k=-\infty}h[k]\color{red}{z^{n-k}}\\&=z^n\color{blue}{\sum^\infty_{k=-\infty}h[k]z^{-k}}\\&=\color{magenta}{z^n}\color{blue}{H(z)}\\&=\color{magenta}{x^n}\color{blue}{H(z)}\end{aligned}$$

 

이를 $H(z)$로 정리하면 다음과 같음.

$$H(z)=\dfrac{y[n]}{x[n]}=\sum^\infty_{n=-\infty}h[n]z^{-n}$$

• $H(z)$는 impulse response $h(n)$에 대한 z-Transform에 해당하므로
• $H(z)=\sum^\infty_{k=-\infty}h[k]z^{-k}$임. ← z-Transform의 정의.

참고로, 위 식에서 보이듯이 z-Transform에서 LTI system은 $z^{n}$에 대해 일종의 eigen function 임. (basis function이 입력될 경우, scalar multiple만 일어남)

위의 식에서 $h[n]$ 대신 일반적인 신호 $f[n]$을 적용할 경우, 해당 입력신호 $f[n]$에 대한 z-Transform임.