[SS] z-Transform: Introduction

1. z-Transform이란?

Laplace Transform의 Discrete Version (or Generalization of DTFT)

• Continuous Time Signal과 System에서 Laplace Transform의 역할을
• Discrete Time Signal과 Discrete Time System에서 담당.

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수식적으로 보면, DTFT (Discrete Time Fourier Transform)을 일반화(Generalization)한 것임.

• DTFT는 z-Transform의 special case임.
  • 이는 FT이 Laplace Transform의 special case인 것과 비슷함.
  • DTFT가 존재하지 않는 discrete signal에서도 z-Transform은 가능함.
    • 단 absolutely summable해야 하므로,
    • z-Transform은 Laplace Transform의 경우와 마찬가지로
      ROC (Region Of Convergence)가 존재함.

z-Transform은 discrete time signal을 $z=re^{j\omega}$(polar coordinate)의 complex function으로 변환(실제 사용에선 complex number 대신 $z$로 대체하여 표현

Laplace Transform은 continuous time signal을 $s=\sigma+j\omega$ (Complex Plane with Cartesian Coordinate)의 complex function으로 변환.

 

2022.10.12 - [.../Signals and Systems] - [SS] Dirichlet Conditions (디리클레 조건)

[SS] Dirichlet Conditions (디리클레 조건)

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2. z-Transform의 장점.

$z=re^{j\omega}$로서 $z$는 complex variable이지만, 실제 사용에 있어서는 complex number로 표현되지 않음 (Laplace Transform의 $s$도 $s=\sigma+j\omega$ 임에도 $s$로만 사용하는 것과 유사.)

• 이를 통해 z-Transform은 Time domain의 discrete signal을 Freq. domain에서 처리할 수 있도록 변환.

차분방정식 을 간단한 "대수방정식"으로 변환 하여 쉽게 풀 수 있음.

• discrete system은 흔히 Difference equation(차분방정식) 으로 표현됨.
• 즉, discrete system을 해석하는데 매우 유용한 tool이 z-Transform임
  • Time domain의 convolution을
    z-Transform의 경우 multiplication으로 간단히 처리할 수 있음.
  • Discrete LTI System의 System Impulse Response의
    z-Transform은 System Transfer Function으로 불림
  • pole과 zero가 z-plane에서 어디에 위치하느냐에 따라,
    system의 stability와 같은 특성을 파악할 수 있음.
• 이는 discrete LTI system의 특성을 파악하는데 매우 유용

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3. z-Transform 정의

다음과 같은 discrete signal $x[n]$ 에 대해,

$$ x[n]=\cdots+x[-2]+x[-1]+x[0]+x[1]+x[2]+\cdots$$

z-Transform $X(z)$은 다음과 같이 정의됨.

$$ X(z)=\cdots+x[-2]z^{2}+x[-1]z^{1}+x[0]z^{0}+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\cdots $$

where, $z$ is a complex number as follows:

$$z=re^{j\omega}\\ \quad \\ \left.e^{-\sigma t} e^{-j\omega t}\right|_{t\to nT} = \left. e ^{-(\sigma+j\omega)nT}\right|_{nT\to n}=e^{-sn}=z^{-n}$$

 

결국, Laplace transform에서 z-Transform의 유도는

• Laplace trnasform의 식에서 시간에 대한 sampling $T$간격으로 해줌으로서
  $t \to nT$로 처리를 해주고,
• 고정된 $T$를 무시하고 순서들만 고려한 $n$으로 처리하면
• z-Transform을 얻어냄.

다음의 사이트에서 상세하게 전개를 하고 있으니 참고할 것.

https://angeloyeo.github.io/2020/07/23/laplace_and_z.html

라플라스 변환과 z-변환의 관계 - 공돌이의 수학정리노트

3-1. Region of Convergence (ROC)

• z-Transform은 무한 개의 항의 summation이므로 값을 구하기 위해서는 수렴(converge)해야 함.
• 즉, z-Transform이 존재(=구할 수 있다면)하기 위해서는 다음이 성립해야 함. (= absolutely summarable)
  $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left | x[n]z^{-n}\right | < \infty$$
  • 위와 같은 이유로 z-Transform은 특정 z의 영역에서만 구할 수 있음(z-Transform이 수렴이 되는 $z$의 범위)
  • z-Transform이 수렴하여 값이 존재하는 z의 영역을 ROC라고 함.
  • z-Transform의 경우, 일종의 등비급수의 합이기 때문에, 공비가 1보다 작을 경우 등비급수가 수렴하는 특성을 그대로 가지게 되어, 이를 통해 z의 ROC가 정해지게 됨.

다음 동영상은 z-plane과 s-plane의 mapping을 보여줌.

https://youtu.be/acQecd6dmxw

 

2022.11.30 - [.../Signals and Systems] - [SS] ROC of z-Transform

[SS] ROC of z-Transform

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4. z-Transform의 일반형.

4-1. Bilateral z-Transform

$$ X(z)=Z \left \{ x[n] \right \}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} $$

위의 수식은 엄밀히 말할 때, Bilateral z-Transform 이며 ROC가 주어져야만 구할 수 있음.

• 또한, 분명히 다른 $x[n]$인데도 똑같은 $X(z)$를 가질 수 있음 (이 경우, 각각의 ROC로 구별됨)
• 이 때문에, 항상 ROC를 명기해주어야 하는 번거로움이 존재하여 일반적인 경우엔, 다음의 unilateral z-Transform이 사용됨.

흔히, z-Transform이라고 하면 unilateral z-Transform을 가르킴.

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4-2. Unilateral z-Transform

$$ X(z)=Z \left \{ x[n] \right \}=\sum_{\color{red}{n=0}}^{\infty}x[n]z^{-n} $$

• 역변환(inverse transform)이 유일하므로 ROC를 기재하지 않아도 됨.

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Example 1. Absolutely summable case

다음 함수가 있다고 하자.

$$ h[n] = 0.5^n u[n]$$

이 함수의 DTFT 는 다음과 같음.

• Sol.
  • DTFT가 존재하려면, 위의 경우는 등비수열의 합이 수렴해야 함.$$ \left|0.5e^{-j\Omega}\right|=\left|\dfrac{0.5}{e^{j\Omega}}\right|=\left|\dfrac{0.5}{\cos\Omega+j\sin\Omega}\right| $$
  • 공비(common ratio) $0.5e^{-j\Omega}$의 절대값이 1보다 작으므로 DTFS존재함.
    $$ \begin{align*} H(e^{j\Omega}) &= \sum_{n=0}^{\infty} 0.5^n e^{-j\Omega n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (0.5e^{-j\Omega})^n \\ &=\frac{1}{1-0.5e^{-j\Omega}} \end{align*} $$

위의 z-Transform은 다음과 같음.

• Sol.
  $$\begin{aligned} H(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} 0.5^n\left(re^{j\omega}\right)^{-n}\\&= \sum_{n=0}^{\infty} 0.5^n z^{-n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} (0.5z^{-1})^n \\ &=\frac{1}{1-0.5z^{-1}} \\ &=\frac{z}{z-0.5} \end{aligned}$$

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Example 2. Not absolutely summable case

다음 함수가 있다고 하자.

$$ h[n]=5^nu[n] $$

이 함수의 DTFT는 $\displaystyle h(e^{j\Omega})=\sum^\infty_{n=0}5^ne^{-j\Omega n}=\sum^\infty_{n=0}(5e^{-j\Omega})^n$이며 common ratio에 해당하는 $5e^{-j\Omega}$의 절대값이 5임.

결국 등비수열의 합이 무한대로 발산하므로 DTFT가 존재하지 않음.

$$ \left|5(e^{j\Omega})^{-1}\right|=\left| \frac{5}{e^{j\Omega}}\right|=\left|\dfrac{5}{\cos\Omega+j\sin\Omega}\right|=5 $$

위 함수에 대한 z-Transform은 다음과 같음.

• Sol.
  $$\begin{aligned}
  H(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} 5^n\left(re^{j\omega}\right)^{-n}\\&= \sum_{n=0}^{\infty} 5^n z^{-n} \\
  &=\sum_{n=0}^{\infty} (5z^{-1})^n \\
  &=\frac{1}{1-5z^{-1}} \\
  &=\frac{z}{z-5}
  \end{aligned}$$

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5. Inverse z-Transform

z-Transform의 역변환은 다음과 같음.

$$ x[n] = Z^{-1} \left \{ X(z) \right \}=\frac{1}{2\pi j}\oint_{\Gamma}X(z)z^{n-1}dz $$

• 위의 수식에서 보이듯이, $z$에 대한 적분임. 
• $z$는 complex number 이기 때문에 Closed Contour integral 등의 복소적분 수행이 필요함.
  • 이같은 복소적분이 직접 계산으로 구하기가 쉽지 않음.
  • 지나치게 복잡한 계산을 요구하여 실용성이 없기 때문에, 복소적분을 통해 inverse z-Transform을 하는 경우는 거의 없다고 봐도 됨.

때문에, 위의 역변환을 사용하지 않고, 실제로는 Partial Fraction Decomposition(부분분수분해)과 주요 신호에 대한 변환쌍의 조합을 이용하여 역변환을 수행함.