입력으로 주어진 두 개의 함수(or signal)의 상관관계(correlation, 또는 similarity 유사성)을 나타내는 함수(or signal)를 반환하는 연산. Cross correlation (흔히 correlation으로도 불림)의 수식은 다음과 같음 (1D cross-correlation) $$ x(t)*y(t)= \int_T x(\tau)y(\tau+t) d\tau $$ $*$를 cross correlation의 연산자 기호로 사용했으나 $\otimes$이 쓰이기도 하는등, 표준 기호가 없음을 주의. convolution과 달리 입력 중 한 function에 대한 반전이 이루어지지 않음. commutative하지 않음 (convolution과의 차이점 중 하나) 수식의 특성이라던지, 유..

Fourier Series (FS) or Fourier Transform (FT) 이 converge(수렴)할 sufficient condition(충분 조건). 특정 신호에 대해 Fourier series 혹은 Fourier transform이 존재하는지에 대한 sufficient condition. 즉, Dirichlet Condition을 만족하면, 항상 FS, FT가 존재함. 단, sufficient condition이므로 FS와 FT가 존재하지만 Dirichlet condition을 만족하지 않는 경우도 존재. Dirichlet Condition Dirichlet Condition은 다음과 같음. single-valued function (= $f(t)$ must be single valued ..

Frequency domain에서 impulse function $\delta(\Omega)$에 대해 inverse Fourier transform (IFT)를 취해서 constant 1에 대한 Fourier transform (FT)를 구하는게 가장 쉬움. $\delta(\Omega)$의 IFT는 다음과 같음. $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} \delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = \frac{1}{2\pi}$$ $\delta(\Omega)$는 $\Omega=0$일 때만 값을 가지면, $\int^\infty_{-\infty}\d..

Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t [SS] Unit Step Function 수식 $$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t dsaint31.tistory.com 문제는 $u(t)$는 absolutely integrable하지 않아서 직접적으로 Fourier Transform(FT)를 못 구한다. 때문에 impulse function의 미분을 이용하거나 sgn function을 사용하여 구한다. (보통 table을 보거나 거의 외워서 푸는게 대부분이지만... 여기선 유도를 하려고 하니...) 여기선 sgn funct..

Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음. $$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_..