$$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$$ 를 이용한다. $\sin^2 \Omega_0 t$는 다음과 같이 전개가 가능함. $$\begin{aligned}\sin^2(\Omega_0 t)&=\frac{1-\cos 2\Omega_0t}{2}\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\end{aligned}$$ 이를 (Unilateral )Laplace transform하면 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[\sin^2\Omega_0 t\right]&=\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\right]-\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\right]\\ &=\..

$$\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$$ 를 이용한다. $\cos^s \Omega_0 t$는 다음과 같이 전개가 가능함. $$\begin{aligned}\cos^2(\Omega_0 t)&=\frac{1+\cos 2\Omega_0t}{2}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\end{aligned}$$ 이를 (Unilateral )Laplace transform하면 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{L}\left[\cos^2\Omega_0 t\right]&=\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\right]+\mathscr{L}\left[\frac{1}{2}\cos 2\Omega_0t\right]\\ &=\..

SignalLaplace TransformRoC...1$u(t)$$\frac{1}{s}$$\text{Re}(s)>0$ 2$u(t)-u(t-a)$$\frac{1-e^{-as}}{s}$$\text{Re}(s)>0$ 3$\delta(t)$1all complex plane 4$\delta(t-a)$$e^{-as}$all complex plane 5$e^{-at}u(t)$$\frac{1}{s+a}$$\text{Re}(s)>-a$참고6$\cos\Omega_0t u(t)$$\frac{s}{s+\Omega_0^2}$$\text{Re}(s)>0$ 7$\sin\Omega_0t u(t)$$\frac{\Omega_0}{s+\Omega_0^2}$$\text{Re}(s)>0$ 8$t^nu(t)$$\frac{n!}{s^{n+1}}..

1. 다음 $X(s)$의 Inverse Laplace Transform을 구하라. $$X(s)=\frac{8s^2-7s-6}{s^3-s^2-6s}$$ sol. $$\begin {aligned} X(s)&=\frac{8s^2-7s-6}{s^3-s^2-6s}\\ &=\frac{8s^2-7s-6}{s(s-3)(s+2)}\\ &=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{s+2} \end {aligned}$$ distinct pole의 경우로서 다음과 같이 A,B,C를 구할 수 있음. $$ \begin {aligned} A&= \left. \frac{8s^2-7s-6}{(s-3)(s+2)} \right |_{s=0} \\ &= \frac{0-0-6}{-3\cdot 2} \\ &= 1 \end..

입력으로 주어진 두 개의 함수(or signal)의 상관관계(correlation, 또는 similarity 유사성)을 나타내는 함수(or signal)를 반환하는 연산. Cross correlation (흔히 correlation으로도 불림)의 수식은 다음과 같음 (1D cross-correlation) $$ x(t)*y(t)= \int_T x(\tau)y(\tau+t) d\tau $$ $*$를 cross correlation의 연산자 기호로 사용했으나 $\otimes$이 쓰이기도 하는등, 표준 기호가 없음을 주의. convolution과 달리 입력 중 한 function에 대한 반전이 이루어지지 않음. commutative하지 않음 (convolution과의 차이점 중 하나) 수식의 특성이라던지, 유..

Fourier Series (FS) or Fourier Transform (FT) 이 converge(수렴)할 sufficient condition(충분 조건). 특정 신호에 대해 Fourier series 혹은 Fourier transform이 존재하는지에 대한 sufficient condition. 즉, Dirichlet Condition을 만족하면, 항상 FS, FT가 존재함. 단, sufficient condition이므로 FS와 FT가 존재하지만 Dirichlet condition을 만족하지 않는 경우도 존재. Dirichlet Condition Dirichlet Condition은 다음과 같음. single-valued function (= $f(t)$ must be single valued ..