[SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response

LTI System $T$를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다고 하자.

$$y(t) = T\left\{x(t)\right\}$$

where

• $x(t)$ : input signal에 해당하는 function.
• $y(t)$ : output signal에 해당하는 function.

여기서,

sifting property에 의해 impulse function들의 weighted sum으로 $x(t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$x(t)=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$

2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Properties of Impulse Function

[SS] Properties of Impulse Function

 

이를 LTI System $T$에 대한 식에 대입하면 다음과 같음.

$$\begin{aligned} y(t)&=T\left\{x(t)\right\} \\ &=T\left\{ \int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \right\}\end{aligned}$$

 

$T$는 LTI System이므로 linearity에 의해 다음이 성립함.

$$T\left\{ \int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \right\} = \int^\infty_{-\infty}x(\tau)T\left\{ \delta(t-\tau)\right\}d\tau$$

• additivity에 의해 integration 안으로 $T\left\{ \quad \right\}$를 집어넣을 수 있음.
  • input signal의 각 항에 적용하여 더하나
  • 한번에 적용하나 같으므로.
• $T\left\{x(\tau)\delta(t-\tau)\right\}$에서
  • 각 $\tau$의 값이 정해지는 순간 input $x(t)$가 정해진 상태이면
  • $x(\tau)$의 값은 일종의 상수가 된다($\tau$가 결정되면 $x(\tau)$로 고정됨.)
• 때문에 linearity의 homogeneity를 통해 $x(\tau)$를 $T\left\{\quad \right\}$밖으로 뺄 수 있음.

여기서 LTI System $T$에서

• impulse function이 입력될 때의 출력인 impulse repsonse를
• $h(t)=T\left\{\delta(t)\right\}$로 정의했다고 하자.
• ($h(t)$가 impulse response)

$T$는 LTI System의 function이므로 time invariant가 성립하고 때문에 다음이 성립함.

$$\int^\infty_{-\infty}x(\tau)T\left\{ \delta(t-\tau)\right\}d\tau = \int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

 

즉, 출력 $y(t)$는 다음과 같이 impulse response와 input function의 convolution으로 정의된다.

$$y(t)=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau = x(t) * h(t)$$

 

• 여기서 $*$를 convolution 연산자로 표기했으나
• convolution operator notation은 표준이 없기 때문에
• 다른 문헌에서는 다른 표기가 사용될 수 있음을 주의할 것.

Convolution operation에서 commutative law가 성립하기 때문에 다음이 성립.

 

$$y(t)= x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = \int^\infty_{-\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau$$

 

LTI system에서 출력은
impulse response와 input function의
convolution으로 표현 가능.

 

즉, convolution은 LTI System의 zero-state output을 구하기 위한 operation임.