[Math] Function (함수): 간략 정의

Function은 흔히 mapping(사상), transformation(변환)이라는 용어로 불리기도 함.

 

set으로 정의한다면,

• domain(정의역: 일종의 set)의 각 element에 대해
• co-domain(공역: 역시 일종의 set)의 elements 중  오직 하나 로 대응시키는
• Relation(or mapping)의 일종 ▶ 함수를 두 set(집합) 사이의 일종의 relation 으로 정의.

특정한 입력이 주어지면 거기에 따른 출력이 나오는 (maps to) 입출력 장치라고 볼 수 있음.

 

Programming Language에서의 Function의 정의는 다음을 참고.

https://dsaint31.tistory.com/506

[Python] Function Definition, Call and Arguments

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1. 수학적 정의

두 set $X$와 $Y$의 원소 간에 관계 $f$가 다음을 만족할 경우, function이라 한다.

• $\forall x \in X$에 대해 $y=f(x)$인 $y \in Y$가 반드시 존재함.
• $x_1, x_2 \in X$일 경우, $x_1=x_2$이며 $f(x_1) = f(x_2)$ 가 반드시 성립함.

위 두 조건을 만족하는 function $f$는 다음과 같이 표기된다.

$$
f: X \mapsto Y
$$

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2. 관련 용어.

• domain (정의역) : $X$
• codomain (공역) : $Y$
• image (상) : $Y$의 원소 중 $X$의 원소와 mapping이 된 원소
  • 또는 해당 원소로 구성된 set(이 경우 range와 동일).
  • 항상 codomain의 subset임.
• preimage (원상, 역상) : image에 대응하는 $X$의 원소. inverse-image(역상)라고도 불림. 
  • codomain의 subset $B \subseteq Y$에서 function $f$에 대한 preimage는 $X$의 subset임.
  • $f^{-1}(B)=\{x\in X: f(x)\in B\} \subseteq X$
• coimage (코이미지): 정의역 $X$에서 kernel(커널)에 동일시하여 만든 quotient space(몫공간)
  • $X/ \text{ker}(f)$로 표기: quotient space가 이 나누기 기호로 표기!
  • 선형 변환이 보존하는 정보를 반영하는 space
  • image와 canonical isomorphism(표준 동형사상) 관계가 성립함: $|\text{image}|=|\text{coimage}|$
  • coimage에서 한 entry는 equivalence class(동치류) 임: 한 equivalence class는 domain의 일부 elements로 구성된 set임.
  • coimage의 entry와 kernel은 domain의 partition을 이룸: 분할함.
• range (치역) : 모든 image들의 set.
• indepedent variable (독립변수) : domain의 임의의 원소.
• dependent variable (종속변수) : range의 임의의 원소.

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주의: Preimage vs. Coimage

1. Preimage는 image의 한 원소에 대응하는 domain의 subset(부분집합)
2. Coimage는 domain의 분할(partition)을 나타내는 equivalent class(동치류)들의 집합.
3. Preimage는 개별 함숫값에 대한 역상 이라면, coimage는 전체 domain의 partition(분할) 임.

2025.02.07 - [.../Math] - [Math] 예제: Domain, Codomain, Image, Range, Preimage, Coimage

[Math] 예제: Domain, Codomain, Image, Range, Preimage, Coimage

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%83%81_(%EC%88%98%ED%95%99) 

상 (수학) - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

참고: isomorphism

2025.02.07 - [.../Linear Algebra] - [LA] Isomorphism (동형사상)

[LA] Isomorphism (동형사상)

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참고: domina, codomain, and range (좀 더 엄밀한 정의)

$f:X\rightarrow Y$에서

• $X$를 $f$의 정의역(domain),
• $Y$를 $f$의 공역(codomain)

이라고 한다.

• $f(x)=y$라면 $y$는 $x$의 상(image)라고 하고, $x$는 $y$의 원상(preimage)이라 부름.
• $X$의 모든 원소에 대응되는 모든 상들의 집합을 $f$의 치역(range) 또는 상(image)이라 한다.
  • 치역(range)는 $f(X)$로 표기.
• domain과 codomain이 같고 domain의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)$인 두 함수는 $f,g$는 서로 같다.($f=g$)
• $f:X\rightarrow Y$에서 $S\subset X$일 때, $S$의 image는 $f(S)=\{f(s)|s\in S\}$로 적는데 이 set은 $Y$의 subset임.

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3. Types of function (0)

mapping에 따른 분류.

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3.1. one-to-one (단사) function

$f:X \mapsto Y$에서 $\forall x_1, x_2 \in X$ 라 하자.

이때 $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$가 성립하는 경우,

$f$를 one-to-one (or injection, injective) function이라고 함.

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3.2. onto (전사) function

$f:X \mapsto Y$에서 $\forall y \in Y$가 적어도 하나의 $x \in X$의 image인 경우,

$f$를 onto (surjection, surjective) function이라고 함.

• functon $f$의 range(치역)는 codomain(공역)가 일치함.

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3.3. one-to-one correspondence (전단사) function

• onto 이면서 one-to-one.
• bijection (or bijective)이라고 함.

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4. Types of function (1)

domain과 codomain의 dimension에 따른 분류.

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Vector Function ($\textbf{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$)

• 정의역(domain)이  $\mathbb{R}$이면서 공역(codomain)이 $\mathbb{R}^n$인 경우
• single-variable vector-valued function 또는 single variate vector-valued function 이라고 불림.
• vector 가 output인 것을 나타내기 위해 $\textbf{f}$ (bold)를 사용하거나 upper case $F$를 사용.
• output vector 의 각 element를 component function $f_i$이라고 부름.

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Vector Field ($\textbf{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$)

• 정의역(domain)이  $\mathbb{R}^n$이면서 공역(codomain)이 $\mathbb{R}^n$인 경우
• multivariable vector-valued function 또는 multivariate vector-valued function 이라고 불림.
• vector 가 output인 것을 나타내기 위해 $\textbf{f}$ (bold)를 사용하거나 upper case $F$를 사용.
• output vector 의 각 element를 component function $f_i$이라고 부름.

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Scalar Function ($f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$)

• 정의역(domain)이 $\mathbb{R}$이면서 공역(codomain)이 $\mathbb{R}$인 경우

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Scalar Field ($f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$)

• 정의역(domain)이 $\mathbb{R}^n$ 이면서 공역(codomain)이 $\mathbb{R}$인 경우
• multi-variable function 또는 multi-variate function 이라고 불림.
• level set이라는 개념이 scalar field에서 매우 빈번하게 나옴. 기억할 것: https://dsaint31.tistory.com/entry/Math-Level-Set

[Math] Level Set

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5. Composite Function (합성함수)

어떤 domain에서 co-domain으로 mapping 될 때, 2개 이상의 함수를 거치는 경우를 가르킴.

$$ y=f(g(x))=(f\circ g)(x)$$

 

일반적으로 composite function에서는 

• commutative law가 성립하지 않음.
• 하지만, associative law는 성립함.

참고로 distribute law는 $\circ$ (composite function)에 직접 적용되지 않음을 주의할 것.

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6. Inverse Function (역함수)

2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Inverse Function

[Math] Inverse Function

 

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7. Increasing Function and Decreasing Function

$f:X\rightarrow Y$에서 $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1<x_2 \rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$이면

increasing function(증가함수) 혹은 monotonic increasing function (단조증가함수)라고 하며,

$f(x_1)<f(x_2)$이면 strictly increasing function 이라고 한다.

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마찬가지로 $f:X\rightarrow Y$에서 $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1<x_2 \rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$이면

decreasing function(감소함수) 혹은 monotonic decreasing function (단조감함수)라고 하며,

$f(x_1)<f(x_2)$이면 strictly decreasing function 이라고 한다.

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8. 기타 

8.1. 디리클레(Dirichlet)의 정의: Function

variable $x$, $y$에 대해 $x$의 값이 정해지면, 이에 따라 $y=f(x)$의 값이 정해질 때, $f(x)$는 $x$의 function이라 한다.

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8.2. Function: 특별한 Relation

set $A$에서 set $B$로의 relation $f$가 다음의 두 조건을 모두 만족할 경우,
해당 relation을 $A$에서 $B$로의 function이라고 부름.

•  $\forall x \in A, \exists y \in B: (x,y) \in f$
• $[ (x,y) \in f \wedge (x,z) \in f ] \Rightarrow y=z$

위의 정의에서 $(x,y) \in f$인 경우, $y=f(x)$라고 표기함.

 

2024.02.25 - [.../Math] - [Math] Relation

[Math] Relation

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8.3. 다양한 representation

function을 보다 쉽게 다루기 위한 다른 표현법도 존재함. 아래와 같이

• diargram 으로 표시하거나,
• Input/output을 가지는 box로 나타내는 경우와
• Graph로 표시하기 위한 tuple (or ordered pair, 순서쌍)의 set으로 나타내기도 함.

Graph로 나타내기 위한 순서쌍을 elements로 가지는 set $G$는 다음과 같음.

$$G=\{(x,f(x))|x\in D\}$$

• $D$: domain

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같이 읽어보면 좋은 자료들

https://dsaint31.tistory.com/entry/Math-Multi-variable-vs-Multi-variate-and-Multiple-Regression

[Math] Multi-variable vs. Multi-variate and Multiple Regression

https://dsaint31.github.io/math/math-week01/#function-simple

[Math] Week 01

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