Problem 01 강 위 $50m$ 높이의 다리 위에서 소년이 돌($10\text{kg}$)/깃털($1\text{g}$)을 던지고 있음. (a) 돌과 깃털을 위방향으로, (b) 돌과 깃털을 아래방향으로 속력 15m/s 으로 던지면, 돌과 깃털의 각각 수면 위에 떨어지는 순간의 속력은 얼마인가? (자유낙하로 계산하시오.) a) $$ \begin{aligned} v^2&=v_0^2 + 2as \\ v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\ &=\sqrt{(+15)^2 + 2(-9.8)(-50)} \\ &=-34.7 (\text{m/s})\end{aligned} $$ b) $$ \begin{aligned} v^2&=v_0^2 + 2as \\ v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\ &=\sqrt{(..

온도 $T$가 주어진 상황에서,입자가 에너지 $E$를 가질 확률은 Boltzmann’s Factor에 비례(통계물리학). 이를 식으로 나타내면 다음과 같음. $$P(E,T)\propto\text{Exp}\left(\frac{-E}{K_\text{Boltzmann}T}\right)=\frac{1}{\text{Exp}\left(\frac{E}{K_\text{Boltzmann}T}\right)}$$ 위 식에서, $K_\text{Boltzmann}$은 Boltzmann Constant이며 $K_\text{Boltzmann}=\frac{R}{N_A}$로서 ideal gas constant $R$과 아보가드로수 $N_A$의 비(ratio)임. $R=8.314472$ 이며 unit은 $\frac{J}{K\text{m..

Newton-Raphson Method$f(x)=0$을 만족하는 root(근)인 $\hat{x}$를 찾는 방법 중 하나 : root-finding algorithm 위의 그림에서 보이듯이1st order derivative(1차 도함수)를 이용하여현재의 $x_t$로부터 $x_{t+1}$을 구해낸다.이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.$$\begin{aligned}f^\prime(x_t)&=\dfrac{f(x_{t+1})-f(x_t)}{x_{t+1}-x_t}\\x_{t+1}-x_t&=\dfrac{f(x_{t+1})-f(x_t)}{f^\prime(x_t)}\\\quad\\x_{t+1}&=x_t+\dfrac{f(x_{t+1})-f(x_t)}{f^\prime(x_t)}\\&=x_t+\dfrac{0-f(x_t)}..

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p}$$ where $p$is the probability of belonging to class of $1$ (success). odds의 range는 $[0,\infty]$ 임. (symmetric) probability가 $[0,1]$ 것과 차이가 있음. 어떤 event가 일어날 가능성에 대한 정량적 정보를 제공하나, probability와는 다름. likelihood, odds, probability 모두 어떤 event가 일어날지에 대한 정량적 비교는 가능하나 조금씩 차이가 있음. case control study에서 매우 probability가 낮은 경우에 대한 risk ratio를 odds ratio가 대체하기도 함. Ex NC의 우승 odds..

Logistic FunctionLogistic function은일종의 연속변수에 해당하는 "raw score"(정확히는 logit score)을 probability로 바꾸어주는 함수임: output이 0에서 1사이의 real number.미분가능!더보기Binary classification에서 True일 경우의 logit score가 0이상일 경우, True일 확률이 0.5이상에 해당한다.즉,  logit score 의 값이 양수로 클수록 대응하는 확률이 0.5보다 커지며, 음수로 커질수록 대응하는 확률이 0.5 이하록 작아짐.다음이 바로 logistic function임. $$\text{logistic}(t)=\sigma(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$$Sigmoid functions 중에서..

Softmax function은 Logistic function의 generic form 즉 일반형이라고 할 수 있음. 달리 말하면, Logistic function은 Softmax function에서 class의 수가 2인 특별한 경우에 해당함. 우선 softmax function은 다음과 같음. $$\sigma(c_i)=\frac{e^{c_i}}{\sum^N_{i=0}e^{c_i}}$$ where $N$ : # of classes - 1. $c_i$ : $i$-th categorical variable. i번째 class에 속할 가능성을 나타내는 logit score. 참고로 logit score는 특정 입력이 각 class에 속할 probability에 대응하는 "raw score"로 값이 클수록 ..