[LA] Eigenvalue and Eigenvector

특정 행렬 $A$는 linear transform을 의미함: $A\mathbf{x}$는 vector $\mathbf{x}$를 linear transform하는 것에 해당.

$A$의 eigenvector와 eigenvalue는 $A$를 standard matrix로 하는 linear transform의 고유한 특성을 나타내는 요소임.

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Definition:

• Eigenvector:
  • $n \times n$ 행렬 $A$를 linear transform으로 보았을 때,
  • 해당 linear transform을 통해 방향이 변화되지 않고 유지되면서
  • 크기(norm)만 Scalar Multiplication이 가해지는
  • nonzero vector $\textbf{x}$.
• Eigenvalue:
  • 행렬 $A$가 linear transform으로 작용할 때,
  • 특정 eigenvector $\textbf{x}$에 대해 해당 변환이 결과적으로 얼마나 크기를 변환시키는지를 나타내는
  • Scalar 값 $\lambda$.
• Eigenspace:
  • $(A - \lambda I)\textbf{x} = \textbf{0}$의 모든 solution의 집합: null space.
  • linear transform $A$가 행해질 때,
  • eigenvalue $\lambda$에 대해 고유한 방향성을 유지하는 vector들로 구성된 subspace, $\mathbb{R}^n$의 부분 공간.
  • 이는 특정 eigenvalue $\lambda$에 대응하는 eigenvectors의 span임.
  • 즉, 해당하는 eigenvectors의 linear combinations을 통해 얻어지는 공간임.
• Multiplicity
  • 특정 eigenvalue에 대응하는 eigenvector의 개수를 나타냄.
    
    • Algebraic multiplicity는 eigenvalue의 다항식에서의 중복 횟수를 나타내며, 다항식의 차수로 정의됨.
    • Geometric multiplicity는 그 eigenvalue에 대해 얻을 수 있는 linearly independent한 eigenvectors의 최대 개수로, 해당 eigenvalue의 eigenspace의 차원으로 정의됨.
    • Algebraic multiplicity는 항상 Geometric multiplicity 보다 작거나 같음.: diagonalizable matrix, normal matrix (Hermitian matrix, Unitary matrix), symmetric matrix 에서 같아짐 (또는 distinct eigenvalue로 얻어지는 경우)
  • 특정 eigenvalue에 대응하는 여러 개의 eigenvector가 존재할 수 있음
  • 이들 모두와 zero vector가 이루는 vector subspace가 eigenspace임. 

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Summary

Linear transform으로서의 행렬 $A$는 특정 방향으로 변하지 않는 벡터, 즉 eigenvector를 가짐.

이는 해당 선형 변환의 고유한 방향성을 나타냄.

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