[LA] Skew-Symmetric Matrix 란

Skew-Symmetric Matrix란 무엇인가?

skew-symmetric matrix란,

• 행렬의 전치(transpose)가
• 그 행렬의 음수가 되는 행렬을 의미함.

수학적으로, $\mathbf{A}$가 Skew-Symmetric Matrix이라면, 다음 조건을 만족함:

$$\mathbf{A}^\top = -\mathbf{A}$$

즉, 행렬의 각 성분 $a_{ij}$에 대해 $a_{ij} = -a_{ji}$가 성립함.

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예시

2x2 행렬을 예로 들면, 다음과 같은 형태가 됨:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{bmatrix}$$

여기서, $b$ 는 실수임. 이 행렬은 다음 조건을 만족함:

$$\mathbf{A}^\top = \begin{bmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{bmatrix} = -\mathbf{A}$$

3x3 행렬의 경우, Skew-Symmetric Matrix은 다음과 같은 형태를 가짐:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{bmatrix}$$

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성질

1. Main Diagonal Elements가 0:
   • Skew-Symmetric Matrix의 대각선 원소는 항상 0임.
   • 이는 $a_{ii} = -a_{ii}$이므로 $2a_{ii} = 0$이고,
   • 따라서 $a_{ii} = 0$이기 때문임.
2. Eigen Value(고유값):
   • Skew-Symmetric Matrix의 고유값은 순수 허수(imaginary) 또는 0임.
   • 이는 Skew-Symmetric Matrix의 특성 방정식에서 기인함.
3. 홀수 차원 행렬:
   • 홀수 차원의 Skew-Symmetric Matrix은 항상 적어도 하나의 고유값이 0임.
   • 이는 이러한 행렬이 비가역적(singular)임을 의미함.
4. 무한소 회전:
   • Skew-Symmetric Matrix은 물리학과 컴퓨터 그래픽스에서
   • Cross Product을 나타내는 데 자주 사용됨.

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예제

다음은 3x3 Skew-Symmetric Matrix의 예임:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$$

이 행렬의 Transpose를 계산하면:

$$\mathbf{A}^\top = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 4 \\ 3 & -4 & 0 \end{bmatrix}$$

이는 $-\mathbf{A}$와 같음을 확인할 수 있음.

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같이 보면 좋은 자료

2024.06.28 - [.../Linear Algebra] - [LA] Matrix Multiplication for Cross Product

[LA] Matrix Multiplication for Cross Product

 

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