[Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

Homogeneous Coordinates (동차 좌표)와 Projective Geometry (사영 기하학)

1. 개요

1-1. Homogeneous Coordinates의 정의와 특성

Homogeneous Coordinates (동차 좌표)는 Euclidean Coordinates (유클리드 좌표) 시스템을 확장하여 Projective Geometry (사영 기하학)에서 사용되는 좌표 시스템임.

• 이는 3차원 또는 2차원 Euclidean Space (유클리드 공간)의 점을 한 차원 더 높은 공간에서 표현하는 방법임.
  • Projective Space $\mathbb{P}^2$는 평면(2차원)의 점을 homogeneous coordinates로 나타냄.
  • $\mathbb{P}^2 = \mathbb{R}^3 - \mathbf{0}$ 로, 2차원의 point를 나타내는데 3차원의 Euclidean Space $\mathbb{R}^3$가 사용됨. 
• Homogeneous Coordinates (동차 좌표)는 평행선이 무한히 먼 곳에서 교차하는 등의 Projective Geometry (사영 기하학)적 특성을 효과적으로 표현할 수 있음.

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1-2. Homogeneous Coordinates의 확장과 변환

Homogeneous Coordinates (동차 좌표) 시스템에서는 2D Euclidean Coordinates (유클리드 좌표) $(x, y)$를 $(x, y, w)$로 확장하고, 3D Euclidean Coordinates (유클리드 좌표) $(x, y, z)$를 $(x, y, z, w)$로 확장함.

• 여기서 $w$ 는 Scaling Factor (스케일링 인자)로, 점의 실제 위치는 $(x/w, y/w)$ 또는 $(x/w, y/w, z/w)$로 계산됨.
• Homogeneous Coordinates (동차 좌표)의 중요한 특징 중 하나는 Transformation Matrix (변환 행렬)을 사용하여 기하학적 변환을 일관되게 적용할 수 있다는 점임.
  • translation에 의한 비선형성을 선형으로 바꾸는데 사용된다.
• 이는 컴퓨터 그래픽스, 로보틱스, 사진 측량 등 다양한 분야에서 유용하게 사용됨.

위 그림은 2차원의 점 $(u,v)$가 어떻게 homogeneous coordinate인 $(u,v,w)$에 대응되는지를 도식적으로 표현함.

위 그림에서 orign을 제외한 line $L$은 바로 $(u,v)$의 homogeneous coordinate가 됨.
(추가된 element를 scaling factor라고 부르며, 0인 경우엔 point가 아닌 vector 를 의미함)

 

origin을 카메라의 초점으로 생각하면 해당 line상의 모든 점이 image plane의 하나의 점에 투영됨

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2. Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서의 Point (점)와 Vector (벡터)의 구분

2-1. Point (점)

일반적인 Point (점)은 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(x, y, w)$ 형태로 표현되며, 여기서 $w \neq 0$임.

• 예를 들어, Euclidean Plane (유클리드 평면)의 Point (점) $(2, 3)$ 는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(2, 3, 1)$로 표현될 수 있음.
• 다른 예로, Point (점) $(4, 5)$ 는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(4, 5, 1)$, $(8, 10, 2)$, $(12, 15, 3)$ 등으로 표현될 수 있음.
• $w \neq 0$ 인 경우, 이를 Euclidean Coordinates (유클리드 좌표)로 변환할 때 $(x/w, y/w)$로 변환됨.

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2-2. Vector (벡터)

Vector (벡터)는 방향과 크기를 나타내며, Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(x, y, 0)$ 형태로 표현됨.

• Vector (벡터)는 시작점이 없으며 순수한 방향과 크기만을 나타냄.
• 예를 들어, Vector (벡터) $(2, 3)$ 는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(2, 3, 0)$로 표현됨.
• 다른 예로, Vector (벡터) $(1, 2)$ 는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(1, 2, 0)$로 표현됨.

Euclidean Geometry (유클리드 기하학)에서는 좌표 $(2, 3)$만으로는 Point (점)인지 Vector (벡터)인지 구분할 수 없으나, 문맥에 따라 구분됨.

• Point (점)은 공간 내의 특정 위치를 나타내는 반면, Vector (벡터)는 시작점과 끝점을 갖지 않고 방향과 크기를 나타냄.
• 예를 들어, Euclidean Geometry (유클리드 기하학)에서 Point (점) $(2, 3)$는 특정 위치를 나타내지만,
• Vector (벡터) $(2, 3)$는 원점에서 시작하여 $(2, 3)$ 으로 향하는 방향과 크기를 의미함.

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3. Ideal Point (이상점)의 정의

3-1. Ideal Point의 Homogeneous Coordinates

Ideal Point (이상점)은 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서 $w = 0$ 인 점을 의미함.

• 이는 무한히 먼 곳에 위치하는 점으로, 방향을 나타내는 Vector (벡터)의 형태를 취함.
  • Ideal Point (이상점)은 $(x, y, 0)$로 표현
  • 이는 Vector (벡터)의 Homogeneous Coordinates (동차 좌표) 표현과 동일함.
• 예를 들어, Ideal Point (이상점) $(1, 2)$는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(1, 2, 0)$로 표현됨.
• $w = 0$이기 때문에 Euclidean Coordinates (유클리드 좌표)로 변환할 수 없으며, 이는 Ideal Point (이상점)이 유한한 위치에 있지 않음을 의미함.

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3-2. 평행선의 교차

Euclidean Geometry (유클리드 기하학)에서 평행선은 서로 교차하지 않지만,
Projective Geometry (사영 기하학)에서는 무한히 먼 곳에서 교차한다고 간주함.
이 교차점이 바로 Ideal Point (이상점)임.

• 예를 들어, 평행한 두 선 $y = 2x + 1$과 $y = 2x + 3$은 동일한 기울기 $2$를 가짐.
• 이 평행선들은 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서 $(2, -1, 0)$이라는 동일한 Ideal Point (이상점)에서 교차함.

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3-3. Vector와 Ideal Point의 관계

Vector (벡터)는 특정 방향을 나타내며, Ideal Point (이상점) 역시 해당 방향으로 무한히 먼 곳에 있는 점을 의미함.

• 예를 들어, Vector (벡터) $(3, 4)$는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)로 $(3, 4, 0)$로 표현되며,
• 이는 해당 방향의 Ideal Point (이상점)을 나타냄.

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4. Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서의 Line (직선)의 표현

4-1. Line의 Homogeneous Coordinates 표현

Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서는 2D 평면의 직선이 세 개의 동차 좌표 $[a, b, c]$로 표현됨.
이는 다음과 같은 방정식을 만족함:
$$ax + by + cw = 0$$

• 여기서 $w$ 는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)의 세 번째 좌표임.
• $w$가 0이 아닌 경우, 이는 유한한 위치에 있는 직선을 나타내며,
• $w$가 0인 경우, 이는 Line at Infinity (무한 원선)과 관련된 직선을 나타냄.

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4-2. 두 점을 잇는 직선 구하기

두 점 $\mathbf{p}_1 = (x_1, y_1, w_1)$ 과 $\mathbf{p}_2 = (x_2, y_2, w_2)$ 를 잇는 직선을 구하기 위해, 두 점의 cross product (외적)을 계산함:

$$\mathbf{l} = \mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2$$

이 cross product (외적)의 결과로 얻어진 벡터 $\mathbf{l} = (a, b, c)$는 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 제공함:

$$ax + by + cw = 0$$

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4-3. 두 직선의 교점 구하기

두 직선 $\mathbf{l}_1 = (a_1, b_1, c_1)$과 $\mathbf{l}_2 = (a_2, b_2, c_2)$의 교점을 구하기 위해, 두 직선의 cross product (외적)을 계산함:

$$\mathbf{p} = \mathbf{l}_1 \times \mathbf{l}_2$$

• 이 cross product (외적)의 결과로 얻어진 벡터 $\mathbf{p} = (x, y, w)$는 두 직선의 교점의 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)를 제공함.
• 여기서 $w \neq 0$이면 유한한 점에서 교차하고, $w = 0$이면 Line at Infinity (무한 원선)에서 교차함을 의미함.

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5. Line at Infinity (무한 원선)의 의미

5-1. Line at Infinity의 정의

Homogeneous Coordinates (동차 좌표) 시스템에서  
$\mathbf{l} = [0, 0, 1]^\top$는 Line at Infinity (무한 원선)을 나타냄.

• 이는 Projective Geometry (사영 기하학)에서 중요한 개념으로,
• Euclidean Geometry (유클리드 기하학)에서는 무한히 멀리 떨어진 평행선들이 만나는 선을 의미함.

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5-2. Line at Infinity의 특성

Line at Infinity (무한 원선)은 모든 Ideal Point (이상점)을 포함하는 직선임.

• 이는 평면 위의 모든 직선이 무한히 멀리서 만나는 지점을 나타냄.
• Homogeneous Coordinates (동차 좌표) 시스템에서, 이 Line at Infinity (무한 원선)은 $[0, 0, 1]^\top$로 표현됨.
• 즉, 이 직선은 $w$가 0인 모든 점들을 포함함.

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5-3. Line at Infinity의 표현 비교

Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서 Line at Infinity (무한 원선)을 $[0, 0, 1]^\top$로 표현하는 경우와 $[0, 0, 2]^\top$로 표현하는 경우는 본질적으로 동일함.

• 이는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서 스케일링 인자 $w$ 는 비례적으로 동일한 선을 나타내기 때문임.
• 따라서 $[0, 0, 1]^\top$ 와 $[0, 0, 2]^\top$는 동일한 Line at Infinity (무한 원선)을 의미함.

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5-4. Ideal Points와 Line at Infinity

Line at Infinity (무한 원선)은 모든 Ideal Points (이상점)을 포함함.

각 Ideal Point (이상점)은 다음과 같이 표현될 수 있음:
$$\mathbf{p} = (x, y, 0)$$

Ideal Points (이상점)들이 연결되는 Line at Infinity (무한 원선)은 다음과 같은 일반 형태를 가짐:
$$0x + 0y + 1w = 0$$

• 이는 Line at Infinity (무한 원선)의 방정식임.
• 여기서 $w = 0$인 모든 점들은 이 방정식을 만족하며, 따라서 Ideal Points (이상점)들이 모두 이 직선 위에 놓이게 됨.

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6. 요약

6-1. Ideal Point의 요약

• Ideal Point (이상점)은 Homogeneous Coordinates (동차 좌표) 시스템에서 Vector (벡터)의 형태 $(w = 0)$를 취하는 점임.
  • 이는 무한히 먼 곳에 위치하며, 평행선이 무한히 먼 곳에서 교차하는 점을 나타냄.
• Homogeneous Coordinates (동차 좌표)에서 Point (점)와 Vector (벡터)의 차이를 이해함으로써,
  • Ideal Point (이상점)이 유한한 위치의 점이 아닌 방향을 나타내는 무한히 먼 점임을 명확히 알 수 있음.

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6-2. Projective Geometry에서 Homogeneous Coordinates의 이점

• Projective Geometry (사영 기하학)에서는 Homogeneous Coordinates (동차 좌표)를 사용하여
• Point (점)와 Vector (벡터)를 명확히 구분할 수 있어, 변환의 일관성과 계산의 정확성을 높이는 이점이 있음.
• 또한, Line at Infinity (무한 원선)의 개념은
  • Projective Geometry (사영 기하학)에서 Euclidean Plane (유클리드 평면)의 모든 평행선이 무한히 먼 곳에서 만나는 직선을 표현하며,
  • 이는 평면의 모든 직선이 무한히 멀리서 교차하는 지점을 포함함.

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