[Math] Example of Lagrange Method

Example 1 :

$x$, $y$ 가 조건 $g(x,y)=2x−y−10=0$을 만족할 때, $f=x^2+y^2$의 global minimum(최솟값)을 구하라.

Lagrangian

• $L=x^2+y^2+\lambda (2x-y-10)$

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풀이

Tangency condition 에 의해 최솟값을 가지는 $x,y$에서 다음이 성립.

1. $\dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+2\lambda=0$ , $\lambda = -x$
2. $\dfrac{\partial L}{\partial y}=2y-\lambda=0, \lambda=2y$

1, 2로부터 Lagrange multiplier $\lambda$ 만족하는 식은 다음과 같음.

$$\lambda = -x = 2y$$

 

constraints $g(x,y)=0$ 을 위의 식과 함께 사용하면 다음과 같이 $\lambda, x, y$ 를 구할 수 있음.

$-2\lambda-\dfrac{\lambda}{2}−10=0$ 이므로, $\lambda=-4$임.

 

$y=−2, x=4, \lambda=-4$일 때 global minimum $f=20$ 이 성립.

 

Necessary condition을 만족하는 $x,y$를 구한 것이므로, 실제로 global minimum인지 test를 해야함.

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참고자료

2023.06.26 - [.../Math] - [Math] Lagrange Method or Lagrange Multiplier Method

[Math] Lagrange Method or Lagrange Multiplier Method