Pythagorean theorem(피타고라스의 정리): 직각삼각형에서 직각을 이루는 두 변의 제곱합이 빗변의 제곱과 같음.
Euclidean Geometry(유클리드 기하학)에서 공간은 Curvature(곡률)이 0인 평평한 공간임.
이 기하학은 우리가 일상생활에서 경험하는 물리적 공간을 설명하는 데 사용됨.
건축, 공학, 천문학 등 다양한 분야에 적용됨.
참고: 역사적인 Projective Geometry와 Non-Euclidean Geometry와의 관계
사영기하학과 비유클리드 기하학 은 19세기 기하학 연구의 중요한 분야 중 하나로 등장함. 특히, 평행선 공리(유클리드의 다섯 번째 공리)가 성립하지 않는 기하학을 연구하는 과정에서 사영기하학(projective geometry)과 비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)이 큰 주목을 받음.
유클리드 기하학에서 평행선 공리는 매우 중요한 역할을 하는데, 이 공리가 성립하지 않는 기하학적 체계를 연구함으로써 다양한 새로운 기하학적 구조와 이론이 발견됨.
Projective Geometry(사영 기하학)
Projective Geometry(사영 기하학)은
평행선이 만나는 점(ideal point, 이상점)을 도입하여,
Euclidean Geometry(유클리드 기하학)의 평행 개념을 제거한 기하학임.
Projective Geometry(사영 기하학)에서는 모든 직선이 교차 ("하나의 일반 point" 아니면 "ideal point에서")한다고 가정함.
Curvature가 0인 평평한 공간을 다룬다는 점에서 다른 Non-Euclidean Geometry와 차이점을 가짐.
projective geometry는 평평한 공간을 확장하여 무한원("infinity" or "ideal point")을 포함하는 기하학적 구조를 가짐.
주요 개념은 다음과 같음:
Point(점), Line(선), Plane(면): 기본적인 요소임.
Homogeneous coordinates(동차 좌표계): 점들을 하나의 차원을 추가하여 표현하여 계산을 단순화하는 좌표계임.
Euclidean Geometry(유클리드 기하학)의 평행선 공리가 성립하지 않는 기하학임.
평행선 공리를 부정하여 새로운 기하학적 구조를 만들어냄.
주로 곡면에서의 성립하는 기하학적 구조를 다룸.
크게 다음의 두 종류가 있음:
Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학):
한 직선에 대해 평행하지 않은 여러 직선이 존재함: 평행선이 무수히 많음.
이 기하학에서는 공간의 Curvature(곡률)가 음수임.
쌍곡 평면은 안장이 휘어진 것처럼 보이며, 삼각형의 내각의 합이 180도보다 작음.
Elliptic Geometry(타원 기하학):
모든 직선이 교차(두 점에서 만남)하며, 평행선이 존재하지 않음.
일반적으로 Curvature(곡률)가 양수인 모든 타원형 공간을 포함함 (구면기하학을 포함).
타원 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도보다 큼.
Elliptic Geometry(타원 기하학)은 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 한 예로, 모든 직선이 서로 교차하며 평행선이 없다는 특징이 있음. 이는 구의 표면에서의 기하학(Spherical Geometry, 구면기하학)과 유사함. 예를 들어, 지구의 표면에서 두 개의 "직선"은 결국 만나게 됨.
Riemannian Geometry(리만 기하학)은
Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 한 종류로,
Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학)과
Elliptic Geometry(타원 기하학)을 모두 포함함.
독일 수학자 Bernhard Riemann(베른하르트 리만, 1826-1866)이 창시한 이 기하학은 곡면 위의 기하학을 연구함. 이는 일반 상대성 이론의 수학적 기초가 됨.
주요 수학자들
Nikolai Lobachevsky(니콜라이 로바체프스키):
러시아 수학자인 Nikolai Lobachevsky(니콜라이 로바체프스키, 1792-1856)는 19세기 초반 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)을 독립적으로 개발한 것임.
Euclidean Geometry(유클리드 기하학)의 평행선 공리를 대체하는 새로운 공리를 제안하였음.
그의 연구는 초기에는 큰 반향을 일으키지 못했으나, 후에 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 중요성이 인정됨.
János Bolyai(요한 보야이):
헝가리 수학자인 János Bolyai(요한 보야이, 1802-1860)도 비슷한 시기에 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)을 독립적으로 개발한 것임.
아버지인 Farkas Bolyai(팔 보야이, 1775-1856)도 유명한 수학자로, 아들의 연구를 격려하였음.
János Bolyai(요한 보야이)는 자신의 연구를 통해 Euclidean Geometry(유클리드 기하학)의 한계를 극복하려고 노력하였음.
Carl Friedrich Gauss(카를 프리드리히 가우스):
독일 수학자인 Carl Friedrich Gauss(카를 프리드리히 가우스, 1777-1855)는 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 기초를 다지는 데 중요한 기여를 한 인물임.
Gauss(가우스)는 평행선 공리를 대체하는 연구를 수행했으며, Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 개념을 처음으로 명확히 정의한 것임.
그의 연구는 Lobachevsky(로바체프스키)와 Bolyai(보야이)의 연구와 독립적으로 진행되었음.
Gauss(가우스)는 Riemann(리만)의 지도 교수였으며, Riemann(리만)의 연구에 큰 영향을 미쳤음.
Johann Poncelet(요한 폰셀레):
프랑스 수학자인 Johann Poncelet(요한 폰셀레, 1788-1867)는 Projective Geometry(사영 기하학)을 체계적으로 발전시킨 것임.
군복무 중 러시아에서 포로로 잡혔을 때 Projective Geometry(사영 기하학)에 대해 깊이 연구하였음.
그의 연구는 이후 컴퓨터 그래픽스와 현대 기하학 이론의 발전에 큰 기여를 하였음.
Bernhard Riemann(베른하르트 리만):
독일 수학자인 Bernhard Riemann(베른하르트 리만, 1826-1866)은 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 발전에 큰 공헌을 한 인물임.
Riemann(리만)은 곡면 위의 기하학을 연구하여 Riemannian Geometry(리만 기하학)을 창시함.
이는 Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학)과 Elliptic Geometry(타원 기하학)을 모두 포함하며, Curvature(곡률)를 가진 공간을 이해하는 데 중요한 역할을 함. 또한, 일반 상대성 이론의 수학적 기초가 되었음.
요약
기하학(Geometry)은 공간과 도형의 성질을 연구하는 수학의 한 분야로,
Euclidean Geometry(유클리드 기하학),
Projective Geometry(사영 기하학),
Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)으로 나눌 수 있음.
Euclidean Geometry(유클리드 기하학)은
평행선이 만나지 않는다는 가정하에 기하학을 전개하며, Curvature(곡률)가 0인 평평한 공간을 다룸.
Projective Geometry(사영 기하학)은
모든 직선이 하나의 ideal point(이상점)에서 만난다고 가정함.
Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)은
평행선 공리가 성립하지 않으며,
Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학)과
Elliptic Geometry(타원 기하학)을 포함함.
Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학)은
Curvature(곡률)가 음수인 공간을,
Elliptic Geometry(타원 기하학)은
Curvature(곡률)가 양수인 공간을 다룸.
Riemannian Geometry(리만 기하학)은 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 발전에 큰 기여를 하였으며, 일반 상대성 이론의 수학적 기초가 되었음.
Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)을 개발한 수학자들로는 Nikolai Lobachevsky(니콜라이 로바체프스키), János Bolyai(요한 보야이), 그리고 Carl Friedrich Gauss(카를 프리드리히 가우스)가 있으며, Projective Geometry(사영 기하학)을 발전시킨 수학자로는 Johann Poncelet(요한 폰셀레)가 있음. Bernhard Riemann(베른하르트 리만)은 Riemannian Geometry(리만 기하학)을 창시하여 Hyperbolic Geometry(쌍곡 기하학)과 Elliptic Geometry(타원 기하학)을 모두 포함하는 이론을 개발함으로써 Non-Euclidean Geometry(비유클리드 기하학)의 발전에 큰 기여를 하였음.
