differentiation

Differentiable and ContinuousFunction $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능하면: $p$ $f(x)$는 연속이다. : $q$ (▲ implication, 조건명제)$p \implies q$ 는 참(True)이나이의 역(inverse)인 $q \implies p$는 거짓(False)임.Example$f(x)=|x|$ : $x=0$에서 continuous하지만 미분가능하지 않음.2023.06.22 - [.../Math] - [Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity0, \ \ \exists \delta>0 \mbox{ such that if } \mathbf x \in S \mbox{" data-og-host="d..

다음이 기본적인 지수와 로그 함수의 도함수임.Derivatives $$f(x)=e^x \rightarrow f^\prime(x)=e^x$$ 더보기https://youtu.be/PLD31uT9q5o  $$f(x)=\ln x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x}$$ 더보기https://youtu.be/07PCp15jp90  $$f(x)=a^x \rightarrow f^\prime(x)=a^x \ln a$$ 더보기https://youtu.be/uRpMr02q77U  $$f(x)=\log_a x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x\ln a}$$ 더보기https://youtu.be/tj2hRJ7okO4같이 보면 좋은 자료들  2024.02.28 - [.../Math] - ..

The Key Rules of Differentiation 1. Power rule (다항식의 미분에 핵심)If $f(x)=x^n$, where $n \in \mathbb{R}$, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime(x)=nx^{n-1}$더보기https://youtu.be/m0xJM4AntQg?si=KjDW_SeYWwN-BZnF2. Constant ruleif $f(x)=c$ where $c \in \mathbb{R}$ and constant, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime (x)=0$.3. Sum and Difference rule (미분의 선형성)$f$와..

Cauch가 Mean Value Theorem을 일반화시킨 Theorme(정리) : 1821년발표 내용은 다음과 같음. 두 함수 $f(x), g(x)$가 $[a,b]$에서 continuous하고, $(a,b)$에서 differentiable하면, $(a,b)$ 에 다음을 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재함. $$(f(b)-f(a))g^\prime (c)=(g(b)-g(a))f^\prime(c)$$ 두개의 함수를 이용하여 derivative와 average ratio of change 간의 관계를 살핌. 증명은 Rolle's Theorem을 이용함. 여기서 $g(x)=x$로 한정할 경우, Mean Value Theorem이 됨 ($g^\prime=1$). $$(f(b)-f(a))=(b-a)f^\prime..

중간값의 정리(Intermediate Value Theorem, IVT) 와 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT) 는미적분학에서 중요한 정리들이며, 서로 유사하게 보이지만 다른 정리임. 중간값의 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT)중간값의 정리는 function의 continuity (연속성)에 대한 Theorem. function $f(x)$가 $[a,b]$에서 continuous이고 $f(a) \ne f(b)$이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 어떤 값 $m$ (=intermediate value)에 대해 $f(c)=m$인 $c$가 $(a,b)$에서 적어도 하나 이상 존재.  비슷한 것으로 Extreme Value Theorem (최대-최소의 정..

What is the Chain RuleChain rule은 composite function에 대한 derivative를 구하는 방법임. $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g(x)\right)\right]= f^\prime \left(g(x)\right) g^\prime(x)$$ Chain Rule of Multi-variate Functions$n$-dimensional vector $\bf{x}$의 각 component가 $x_i(t)$라는 scalar function이라면,$\bf{x}$를 input으로 하는 multi-variate function $z=f(\textbf{x})$의scalar $t$에 대한 ordinary derivative는 다음과 같이 구함..