input signal: $x(t) = 10 e^{-3t} u(t)$initial condition: $y(0^-) = 0, y^\prime(i^-) = 0$8. differential equation9. frequency response10. transfer function11. impulse response12. zero input response and zero state response 8-11: https://youtu.be/3pgvBgIf99k 12: https://youtu.be/RWDLd5aplak

$t^n e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} $$위 적분을$s^\prime = s + a$ 로 치환하고Gamma function을 이용한 지수 함수와 $t^n$의 적분공식을 활용하여 증명증명:$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환.$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 위 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty t^n ..

$e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} , dt$$증명:$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} , dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$ 이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함. 이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:$$\in..

갑자기 티스토리에 접속이 안되는 문제 발생. 모든 페이지가 계속 무한 로딩 상태로 어느 페이지도 안열리는... admin으로는 들어가져서 다른 스킨으로 바꾸니 접속이 되었다.이전 백업들도 최근 것과 같은 버전기반은 안 동작... 우선 수식과 code highlight만 처리를 해둔 상태인데...흠...

1. Covolution의  FT: Multiplication$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega), \quad h(t) \leftrightarrow H(\Omega) \\ h(t) * x(t) \leftrightarrow H(\Omega) X(\Omega)$$1-1. 증명:$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^\infty [x(t) * h(t)] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tau \right] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^..

0. Continuous Signal: Time Scaling$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega) \\ y(t)=x(at) \\ Y(\Omega) = \frac{1}{|a|}X\left( \frac{\Omega}{a} \right)$$Compression: $|a|>1$ / Expansion $|a|Time domain 에서의 compression은 Freq. domain 에서의 Expansion, Vice Versa주의할 점은 Continuous에서는 signal의 밀도가 바뀌기 때문에 $\frac{1}{|a|}$로의 magnification이 발생함.0-0. 증명Case: $a>0$$$\begin{aligned}\int^\infty_{t=-\infty}e^{-j\Omega t} ..