Convolution
Convolution은
입력에 kernel (=impulse response)을 이용하여
(LTI system의 zero-state) 출력 신호를 계산하는 연산임.
LTI (Linear Time-Invariant) system에서는
- zero-state condition, 즉 initial state가 0인 경우
- system의 input-output 특성이 impulse response로 결정되며,
- 출력은 입력과 impulser response의 convolution 으로 표현됨.
$$
y(t)=x(t)*h(t)
$$
$$
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau),d\tau
$$
- $x(t)$: input
- $h(t)$: impulse response = convolution kernel
- $y(t)$: zero-state output
다음은 1d convolution의 동작을 보여줌:
참고: Kernel
kernel은
- integral operator에서
- 입력을 어떻게 가중하여 출력에 반영할지를 결정하는 핵심 함수를 가리키는 용어이며,
- convolution에서는 impulse response가 이 역할을 수행함.
kernel이라는 용어는 여러 분야에서 다양한게 사용됨. 다음을 참고:
https://dsaint31.tistory.com/819#4.%20%EB%8B%A4%EB%A5%B8%20%EB%B6%84%EC%95%BC%EC%9D%98%20Kernel%EA%B3%BC%EC%9D%98%20%EB%B9%84%EA%B5%90-1-5
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정리
LTI system의 zero-state output은
input과 impulse response(kernel)의 convolution으로 계산됨.
단, 초기 state가 0이 아닌 경우 (즉 zero-state가 아님)에는
- zero-input response가 추가되며,
- 이 경우, 전체 output은 다음과 같이 표현됨.
$$
y(t)=y_{\text{zero-input}}(t)+y_{\text{zero-state}}(t)
$$
- zero-state response는 convolution으로 계산되며,
- zero-input response는 system의 homogeneous response로서 initial condition에 의해 결정됨.
일반적으로 초기 state가 있는 경우 System의 출력은 Differential Equation을 통해 구해짐.
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