Lorentzian Function (or Cauchy distribution function)

Lorentzian 함수(로렌츠 함수)는 물리학과 신호처리, 특히 공명(resonance)과 푸리에 변환에서 자주 등장하는 함수.

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1. Definition

Lorentzian function 또는 Cauchy distribution function은 다음과 같이 정의됨:

$$
L(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}
$$

where,

• $x_0$: 중심(center). 주로 0으로 사용되는 경우도 많음.
• $\gamma$ > 0: 반치폭(half width at half maximum, HWHM)
• 전체 면적 $\int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$

다음과 같이  $\frac{1}{\pi}$를 제거하고 $x_0=0$인 형태로도 자주 사용됨.

$$L(x; \gamma) = \frac{\gamma}{x^2+\gamma^2}$$

• 이 경우 면적은 $\pi$임. 

https://youtu.be/wbdGyUvvrjI

 

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2. 주요 특징 (Properties)

속성	설명
대칭성	$x_0$을 중심으로 even function(짝함수)
최대값	$L(x_0) = 1/(\pi \gamma)$
폭	$FWHM = 2\gamma$
꼬리감소	$L(x) \sim \dfrac{1}{x^2}$ (heavy tail)

 

• 평균/분산은 보통 정의되지 않음 (꼬리가 너무 느리게 감소하기 때문).

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3. Fourier 변환과의 관계

Lorentzian 함수는 지수 감쇠 함수의 푸리에 변환으로 등장.

$$e^{-\gamma|t|} \overset{\mathcal{F}} {\longleftrightarrow} \frac{2\gamma}{\gamma^2 + \omega^2}$$

 

여기서 $\frac{2\gamma}{\gamma^2 + \omega^2}$ 는 Lorentzian 형태임.

즉, 시간 영역에서 신호가 감쇠(or 진동)하면,
주파수 영역에서 Lorentzian 모양의 스펙트럼이 발생함.

때문에 Lorentzian은
공명(Resonance) 스펙트럼, 광선폭(Line width),
NMR, X-ray, CT 등에서의 신호선폭 표현에 매우 자주 사용되는 함수임.

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4. Impulse function(Dirac delta)와의 관계

Lorentzian은 감쇠 파라미터 $\gamma$가 $0^+$로 갈수록 점점 뾰족해지며,Dirac delta 함수로 수렴함..

$$
\boxed{
\lim_{\gamma \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{x^2 + \gamma^2} = \delta(x)
}
$$

이는 다음 두 가지 조건을 만족하기 때문입니다:

1. 항상 양수: $L(x) \ge 0$
2. 면적이 1: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$

따라서 Lorentzian에서 $\underset{\gamma \to 0}{\lim}$을 취하면 “impulse function”으로 볼 수 있음.

$$\displaystyle \lim_{\gamma \to 0^+} \frac{\gamma}{x^2+\gamma^2} = \pi \delta(x)$$

 

즉, Dirac delta 의 부드럽고 수학적으로 취급 가능한 approximation 임.

 

2023.10.13 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

[SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

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4-1. 비교

 

구분	Lorentzian	Delta (Impulse)
식	$\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{x^2+\gamma^2}$	$\delta(x)$
파라미터	$\gamma>0$: 폭 조절	없음
폭	$\propto \gamma$	0 (이상적 점)
면적	1	1
극한 관계	$\lim_{\gamma\to 0^+} L(x)=\delta(x)$	자기 자신 $
물리적 의미	공명곡선, 라인폭, 감쇠	순간적 자극, 단위 에너지

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4-2. gamma와 dirac delta

• $\gamma$가 작을수록 Lorentzian은 더 뾰족하고 δ에 가까워짐
• $\gamma$가 크면 넓게 퍼진 스펙트럼 → 감쇠가 강한 시스템

$$e^{-\gamma|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \frac{2\gamma}{\gamma^2+\omega^2}$$

 

즉, 시간 영역에서 감쇠가 강할수록 주파수 영역에서 스펙트럼이 넓어짐..