[SS] 상수 함수에 대한 Unilateral Laplace Transform

1. Laplace Transform의 정의

One-sided(unilateral) Laplace transform은 다음과 같이 정의:

$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt$$
where,

• $s = \sigma + j\omega$

2. $f(t) = 1$을 대입

$$\mathcal{L}[1] = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt$$

3. 적분 계산

이 적분은 지수함수의 무한 적분임.
때문에 수렴 조건을 먼저 확인하여 ROC를 구함.

$\operatorname{Re}(s) > 0$ 일 때만 수렴.

적분을 계산하면:

$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty}$$

4. 극한 계산

• $t \to \infty$ 일 때 $\operatorname{Re}(s) > 0$이면 $e^{-st} \to 0$
• $t = 0$ 일 때 $e^{-st} = 1$

다음이 성립함:
$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \frac{0 - (1)}{-s} = \frac{1}{s}$$

5. 결론

$$\boxed{\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s}, \quad \operatorname{Re}(s) > 0}$$

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같이보면 좋은 자료들

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table