Parseval's Theorem

Parseval's Theorem은 에너지 보존을 의미함:

• 주파수 도메인에서 표현하는 경우나
• 시간 도메인에서 표현하는 경우나
• 에너지는 변화가 없음을 의미함.

다른 이름으로 Energy Theorem 또는 Rarseval's Relation 이라고도 부름.

2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Signal의 정량적 특성

[SS] Signal의 정량적 특성

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Asymmetric Fourier Transform 에서

다음이 FT, IFT임.

$$\begin{align*} X(\Omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j\Omega t}\, dt, \\[6pt] x(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)\, e^{j\Omega t}\, d\Omega. \end{align*}$$

 

이 경우, Parseval's Theorem은 다음과 같음:
$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,x^*(t)\,dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, \Bigg[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega)\,e^{-j\Omega t}\,d\Omega \Bigg] dt \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega) \Bigg[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\Omega t}\,dt \Bigg] d\Omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega)\,X(\Omega)\,d\Omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\Omega)|^2 \, d\Omega. \end{align*}$$

비록 $\frac{1}{2\pi}$를 곱해주는 변환계수(or Normalization Factor)가 있으나 에너지가 유지된다는 개념을 보여줌 (단순히 단위가 바뀐 것으로 볼 수 있음)

• 선형 비례 관계를 가지므로 단순히 동일한 양을 다른 스케일로 다루는 것임.
• $\Omega=2\pi f$를 사용하는 것이 공학에선 편함.

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Symmetric Fourier Transform 에서 

다음이 FT와 IFT임:

$$\begin{align*} \text{정방향 변환 (Forward Transform):} \quad X(\Omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j\Omega t}\, dt \\[8pt] \text{역변환 (Inverse Transform):} \quad x(t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)\, e^{j\Omega t}\, d\Omega \end{align*}$$

 

대칭형 정의의 경우의 Parseval's theorem은 에너지 보존을 더 잘 보여줌:
$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,x^*(t)\,dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, \Bigg[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega)\,e^{-j\Omega t}\,d\Omega \Bigg] dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega) \Bigg[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\Omega t}\,dt \Bigg] d\Omega \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X^*(\Omega)\, \Big( \sqrt{2\pi}\,X(\Omega) \Big)\, d\Omega \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} |X(\Omega)|^2 \, d\Omega. \end{align*}$$