[SS] $u(t)-u(t-a)$ 의 (unilateral) Laplace Transform

증명1

• 보통 $a>0$ 가정

$$x(t)=u(t)-u(t-a)=
\begin{cases}
1,& 0\le t<a \\
0,& \text{그 외}
\end{cases}$$

이와 같으므로 unilateral transform 은

$$\mathcal{L}[x(t)]
= \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big[u(t)-u(t-a)\big] dt
= \int_{0}^{a} e^{-st} dt$$

구간 외에는 0 임.

$\operatorname{Re}(s)>0$에서

$$\int_{0}^{a} e^{-st} dt
= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{a}
= \frac{1-e^{-as}}{s}.$$

위에 의해 다음이 성립

$$\boxed{\;\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\dfrac{1-e^{-as}}{s},\quad \operatorname{Re}(s)>0\;}$$

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증명2

Linearity 를 이용해도 증명 가능.

$$\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s} \\
\mathcal{L}[u(t-a)]=\int_{a}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{e^{-as}}{s} \ \ (\operatorname{Re}(s)>0).$$

따라서
$$\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\frac{1}{s}-\frac{e^{-as}}{s}=\frac{1-e^{-as}}{s}.$$

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같이보면 좋은 자료

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table