From Laplace Transform To z-Transform

z-Transform 은 Laplace Transform의 Discrete Version임

 

이 글은 이를 유도해본다.

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1. 연속시간 Laplace Transform의 기본 구조

연속시간 신호 $x(t)$에 대해 Lapalce Transform은 다음과 같음.

$$X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

• 복소지수항 $e^{-st}$ 을 사용함.

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2. 샘플링을 통한 이산신호 표현

샘플링 주기 $T$에서 얻는 이산신호는 $x[n] = x(nT)$ 로 정의됨

이산신호를 연속시간에서 표현하면 shifted impulse들의 가중합 이 됨.

$$x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\delta(t-nT)$$

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3. 샘플링된 신호의 Laplace Transform 계산

Laplace Transform에 $x_s(t)$를 대입하면 다음과 같음:

$$X_s(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-snT}$$

• 이 결과는 shift된 delta가 Laplace 영역에서 지수항으로 변환됨을 직접적으로 반영하는 구조임

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4. 변수 치환을 통한 z-transform 도출

$z = e^{sT}$ 라는 치환을 적용하면

$$e^{-snT} = z^{-n}$$

이 얻어지는 구조임

이를 통해, 다음이 얻어짐.

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

• 이 수식이 바로 Z-transform의 정의임

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5. Shifted impulse의 역할

이산시간에서 임의 신호는 다음과 같음:

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]$$

z-transform 적용 시 다음과 같음:

$$\delta[n-k] \rightarrow z^{-k}$$

이는 연속시간에서 다음에 형태에 직접적으로 대응되는 것으로 이해가능함.

$$\delta(t-a) \rightarrow e^{-as}$$

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6. 요약

• z-transform은 “샘플링된 신호에 Laplace Transform을 적용한 뒤 (z=e^{sT})로 변수 치환한 결과” 로도 볼 수 있음.
• z-transform은 Laplace Transform의 이산(discrete-time) 버전에 해당하는 구조임
• 시간 이동이 지수항으로 변환되는 동일한 원리가 연속시간(Laplace) 과 이산시간(z-transform) 모두에서 유지되며 이와 치환이 같이 적용된 결과가 z-Transform임.

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같이 보면 좋은 자료들

2022.11.30 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform: Introduction

[SS] z-Transform: Introduction