[Math] Euler Angles and Rotation Matrix

Euler Angle 과 Rotation Matrix

 

Euler Angle 은 3차원 공간에서 객체의 orientation 및 rotation(회전)을 표현하는데 사용되는 방법임. 

• 참고로 orientation을  나타내는데 Axis Angle도 많이 사용되고, 
• rotation(회전)의 경우는 Quaternion이 보다 많이 이용됨. 
• 하지만, 가장 쉬운 표현법은 Euler Angle이라고 할 수 있음. 

2023.08.05 - [.../Math] - [Math] Rotation Vector (= Axis-Angle, Rodrigues Angle)

[Math] Rotation Vector (= Axis-Angle, Rodrigues Angle)

2024.07.09 - [.../Math] - [Math] Quaternion (사원수) 와 3D Rotation

[Math] Quaternion (사원수) 와 3D Rotation

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하지만, Euler Angle 은 3개의 축에 대한 회전각들로 구성되기 때문에 "순서"에 따른 다른 표기가 가능함.

 

일반적인 Euler Angle이
채택하는 순서는  
Z-Y-X (Yaw-Pitch-Roll)임.

각각의 경우가 차이가 있음. openCV에서도 항공기 기준으로 애기하는 경우도 많음. --;;

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하지만, Camera의 pose (position + orientation) 등을 얻기 위해 이용되는

OpenCV의 cv2.decomposeProjectionMatrix 함수에서 반환되는 Euler Angle (Fixed Angle이라는 용어를 개인적으로 선호)은 Extrinsic X-Y-Z (Roll-Pitch-Yaw, sxyz) 순 임.

https://stackoverflow.com/questions/54336927/opencv-decompose-projection-matrix-euler-angle-wrong-direction(공식문서등에선 해당언급 찾기 어려움... --;;)

 

 

일부 문헌에서는 Intrinsic Rotation(or Rotated Rotation)에 한정하여
Euler Angle이라고 부르고, Extrinsic Rotation은 Fixed Angle이라고 부름.
이 문서에서는 Extrinsic Euler Angle Rotation을 Euler Angle이라고 언급함.

즉, Euler Angle의 일반적인 순서는 12가지(intrinsic 과 extrinsic의 구분을 안하고도)나 되므로 이에 대한 확인이 꼭 필요함.

 

아래의 설명은 Extrinsic Rotation (or static이라고도 불림)을 기준으로 진행됨.

2024.07.07 - [Programming/DIP] - [CV] Intrinsic Rotation and Extrinsic Rotation

[CV] Intrinsic Rotation and Extrinsic Rotation (Euler-Angle)

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많이 사용되는 Euler Angle 순서: Z-Y-X (Yaw-Pitch-Roll)

일반적인 오일러 각 순서, 즉 Z-Y-X 또는 Yaw-Pitch-Roll은 벡터에 회전을 적용하는 순서를 나타냄.

 

회전은 다음 순서로 적용됨.

1. Z축 회전 (Yaw, $\alpha$ or $\psi$): 이 회전은 Z축을 중심으로 발생함.
2. Y축 회전 (Pitch, $\beta$ or $\theta$): 이 회전은 Y축을 중심으로 발생함.
3. X축 회전 (Roll, $\gamma$ or $\phi$): 이 회전은 X축을 중심으로 발생함.

여기서 각 rotation matrix는 다음과 같이 정의(Extrinsic 기준임)됨:

 

1. Z축 회전 (Yaw or Heading, $\alpha$ or $\psi$):

$$R_z(\alpha) = \begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2. Y축 회전 (Pitch, $\beta$ or $\theta$):

$$R_y(\beta) = \begin{bmatrix}
\cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta)
\end{bmatrix}$$

 

3. X축 회전 (Roll or Bank, $\gamma$ or $\phi$):

$$ R_x(\gamma) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) \\
0 & \sin(\gamma) & \cos(\gamma)
\end{bmatrix}$$

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vector가 rotation matrix뒤에 위치할 때 일반적인 Extrinsic Euler Angle 순서에 대한 행렬 곱셈 순서는 다음과 같음.

$$\mathbf{v}' = R_x(\gamma)  R_y(\beta)  R_z(\alpha)  \mathbf{v} $$

여기서:

• $\mathbf{v}'$ 는 변환된 벡터임.
• $\mathbf{v}$ 는 원래 벡터임.
• $R_x$, $R_y$, $R_z$는 각각 X, Y, Z 축에 대한 회전 행렬임.

최종 roation matrix는 다음과 같음.

$$R_x R_y R_z = \begin{pmatrix}
\cos(\beta)\cos(\alpha) & -\cos(\beta)\sin(\alpha) & \sin(\beta) \\
\cos(\gamma)\sin(\alpha) + \sin(\gamma)\sin(\beta)\cos(\alpha) & \cos(\gamma)\cos(\alpha) - \sin(\gamma)\sin(\beta)\sin(\alpha) & -\sin(\gamma)\cos(\beta) \\
\sin(\gamma)\sin(\alpha) - \cos(\gamma)\sin(\beta)\cos(\alpha) & \sin(\gamma)\cos(\alpha) + \cos(\gamma)\sin(\beta)\sin(\alpha) & \cos(\gamma)\cos(\beta)
\end{pmatrix}$$

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OpenCV의 cv2.decomposeProjectionMatrix 함수

OpenCV의 cv2.decomposeProjectionMatrix 함수에서

반환되는 Euler Angle 은 Extrinsic X-Y-Z (Roll-Pitch-Yaw) 순서를 따름.

 

회전은 다음 순서로 적용됨.

1. X축 회전 (Roll or Bank, $\gamma$ or $\phi$): 첫 번째 회전임.
2. Y축 회전 (Pitch, $\beta$ or $\theta$): 두 번째 회전임.
3. Z축 회전 (Yaw or Heading, $\alpha$ or $\psi$): 세 번째 회전임.

따라서 vector가 matrix 뒤에 위치할 때 X-Y-Z Euler Angle 순서에 대한 행렬 곱셈 순서는 다음과 같음.
$$\mathbf{v}' = R_z(\alpha)  R_y(\beta)  R_x(\gamma)  \mathbf{v}$$ 

 

최종행렬은 다음과 같음.

$$R_z R_y R_x = \begin{pmatrix}
\cos(\alpha)\cos(\beta) & \cos(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) - \sin(\alpha)\cos(\gamma) & \cos(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) + \sin(\alpha)\sin(\gamma) \\
\sin(\alpha)\cos(\beta) & \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) + \cos(\alpha)\cos(\gamma) & \sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) - \cos(\alpha)\sin(\gamma) \\
-\sin(\beta) & \cos(\beta)\sin(\gamma) & \cos(\beta)\cos(\gamma)
\end{pmatrix}$$

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요약 (Extrinsic 기준)

다음의 표를 참고.

순서	회전 순서	행렬 곱셈 순서 (벡터가 행렬 뒤에 있을 때)
Z-Y-X (Yaw-Pitch-Roll)	1. Z축, 2. Y축, 3. X축	$R_x R_y R_z \mathbf{v}$
X-Y-Z (Roll-Pitch-Yaw)	1. X축, 2. Y축, 3. Z축	$R_z R_y  R_x \mathbf{v}$

• 기본적으로 오일러 각의 순서는 Z-Y-X (Yaw-Pitch-Roll)임.

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Euler Angle에서 추가 고려 사항

• 짐벌 락(Gimbal Lock):
  • 여러 세트의 Euler Angle이 동일한 방향을 나타낼 수 있음.
  • Gimbal은 Euler Angle을 물리적으로 구현하는 중첩된 회전고리들을 의미.
  • Gibal Lock은 회전고리 2개가 동일한 평면에 일치하게 놓여서 한 축의 자유도가 사라지게 되는 물리적인 현상을 가리킴.
  • 짐벌 락에 대한 자세한 정보
• 특이점(Singularity):
  • 회전 각 중 하나가 90도에 가까워질 때 Euler Angle은 특이점이 발생할 수 있음.
  • singularity란 특정 회전각부근에서 동일한 회전을 나타낼 수 있는 여러 Euler Angle의 해가 생겨 수치적 불안정성과 모호성이 발생하는 것을 가리킴.
  • 해가 여러개 이다보니 약간의 회전의 변화가 Euler Angle에서 discontinuity 를 유발하게 됨.

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주의 사항

• 벡터가 행렬 뒤에서 위치하여 곱해지는 경우, rotation matrix 들은 항상 역순으로 곱셈(Extrinsic의 경우 한정)해야 함.
• 벡터가 행렬 앞에 있을 때는 행렬간의 곱의 순서가 바뀜.

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같이 읽어보면 좋은 자료들

2024.07.07 - [Programming/DIP] - [CV] Intrinsic Rotation and Extrinsic Rotation (Euler-Angle)

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2023.08.05 - [.../Math] - [Math] Rotation Vector (= Axis-Angle, Rodrigues Angle)

[Math] Rotation Vector (= Axis-Angle, Rodrigues Angle)

Wikipedia: Euler angles

Euler angles - Wikipedia

OpenCV cv2.decomposeProjectionMatrix 함수 공식 문서

OpenCV: Camera Calibration and 3D Reconstruction

https://dlemrcnd.tistory.com/84?utm_source=chatgpt.com

DirectX11 - Fixed Angle(고정 각), Euler Angle(오일러 각), Quaternion(사원수) 정리