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Fourier representation(표현)!!
signal을
frequency와 대응관계인 (complex)sinusoidal signal(복소정현파)의
weighted sum 으로 표현
달리 말하면
(complex)sinusoidal signal을 basis function으로 삼아
이들의 linear combination으로 표현
- periodic signal은 discrete spectrum,
aperiodic signal은 continuous spectrum을 가짐 - periodic signal의 spectrum은 aperiodic signal의 spectrum의 샘플 값 (샘플링한 것)에 대응
- continuous signal의 spectrum은 비주기, discrete signal의 spectrum은 주기 함수임.
- CTFT와 DTFS는 자체적으로 duality이 성립 : (아래 관계도 2참고)
- CTFS와 DTFT는 자체적이 아닌 CTFS와 DTFS 간에 duality이 성립 : (아래 관계도 2참고)
Time domain의 signal (or function)을
Frequency domain의 signal (of function)으로 바꾸어주는 변환
(같은 신호에 대한 다른 표현형)
4가지 Fourier Transforms의 관계도 (1)
4가지 Fourier Transforms의 관계도 (2)
Fourier Transform의 특징
주기성과 이산성
- Time domain에서 Periodic(주기) signal는 frequency domain에서 discrete spectrum을 갖음.
- Time domain에서 Aperiodic(비주기) signal는 frequency domain에서 continuous spectrum을 갖음.
- Time domain에서 continuous signal는 frequency domain에서 Aperiodic(비주기) spectrum을 갖음.
- Time domain에서 discrete signal는 frequency domain에서 Periodic(주기) spectrum을 갖음.
유한성과 무한성
- Time domain에서 길이가 유한한 signal의 spectrum은 전 frequency 범위(무한)에서 값을 갖음.
즉, frequency domain에서 대역 제한되지 않음. - 전 시간 범위(무한)에서 값을 갖는 signal의 spectrum은 유한한 frequency 범위에서만 값을 갖음. 즉,
frequency domain에서 대역 제한됨.
Scaling (독립변수에 대한)
- 시간 축 상에서 signal를 늘리면 spectrum은 frequency 축 상에서 압축.
- 시간 축 상에서 signal를 압축하면 spectrum은 frequency 축 상에서 늘어남.
Delay와 Phase Shift
- Time domain에서 signal를 시간 지연(선행)시키면 amplitude spectrum은 변화가 없고, phase spectrum만 시간 지연에 비례하여 선형적으로 감소(증가)한다.
Signal의 변화와 Frequency
- Time domain에서 signal 파형의 변화가 느리고 매끄러울수록 amplitude spectrum은 급격히 감소한다
(낮은 frequency에서 높은 frequency로 갈 때 급격히 감소). - Time domain에서 signal 파형이 급격히 변화할수록 spectrum은 높은 frequency 성분을 더 많이 포함한다.
Convolution과 곱.
- Time domain에서 두 signal의 Convolution은 frequency domain에서 spectrum의 곱으로 나타난다.
- Time domain에서 두 signal의 곱은 frequency domain에서 spectrum의 Convolution으로 나타난다.
Parseval의 정리
- Time domain에서 구한 signal의 에너지(전력)는 frequency domain에서 구한 에너지(전력)와 같고,
이때 서로 다른 frequency 성분끼리는 에너지를 형성하지 않는다. - 변환한다고 에너지(전력)가 변화하지 않는다. (정량적 성질이 바뀌지 않음)
더보기
Symmetry와 Phase
- Time domain에서 signal가 $t=0$ $(n=0)$의 수직축을 중심으로 even symmetry이면 phase spectrum은 $0$ 또는 $\pm \pi$이 된다.
- Time domain에서 signal가 임의의 수직축을 중심으로 even symmetry을 만족하면 phase spectrum은 선형이 된다.
- Time domain에서 signal가 $t=0$ ($n=0$)의 수직축을 중심으로 odd symmetry이면 phase spectrum은 $\pm 2\pi$이 된다.
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