[SS] Fourier Analysis: 4가지 Fourier Transform 비교

Fourier representation(표현)!!

signal을
frequency와 대응관계인 (complex)sinusoidal signal(복소정현파)의
weighted sum 으로 표현
달리 말하면
(complex)sinusoidal signal을 basis function으로 삼아
이들의 linear combination으로 표현

 

• Periodic signal은 Discrete spectrum,
  Aperiodic signal은 Continuous spectrum을 가짐
• Periodic signal의 spectrum은 Aperiodic signal의 spectrum의 샘플 값 (샘플링한 것)에 대응
  
• Continuous signal의 spectrum은 Aperiodic(비주기) 함수,
  Discrete signal의 spectrum은 Periodic(주기) 함수임.
• CTFT와 DTFS는 자체적으로 duality이 성립 : (아래 관계도 2참고)
• CTFS와 DTFT는 자체적이 아닌 CTFS와 DTFS 간에 duality이 성립 : (아래 관계도 2참고)

Time domain의 signal (or function)을
Frequency domain의 signal (of function, spectrum)으로 바꾸어주는 변환
(같은 신호에 대한 다른 표현형)

 

DFT (Discrete Fourier Transform) 은
Frequency Representation의 종류라기 보다는 컴퓨터에서 Fourier Transform을 구현하기 위한 Tool이라고 볼 수 있음.

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4가지 Fourier Transforms의 관계도 (1)

• 붉은 색 box: Continuous
• 푸른 색 box: Discrete

첫번째 행의 $x(t)$와 $X(\Omega)$ 사이의 변환은 CTFT 임.

두번째 행의 $\tilde{x}_T(t)$와 $X_k$ 사이의 변환은 CTFS 임.

세번째 행은 DTFT 이고 네번째 행은 DTFS임.

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4가지 Fourier Transforms의 관계도 (2)

여기서 Time-Frequency Duality는

Time Domain과 Frequency Domain의 표현인 synthesis equation 과 analysis equation에서

• 오일러수의 exponent (거듭제곱의 지수)의 sign(부호)와
• time signal과 spectrum를

대칭적으로 서로 교환이 가능함을 의미함.

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Fourier Transform의 특징

주기성과 이산성

• Time domain에서 Periodic(주기) signal는
  frequency domain에서 Discrete spectrum을 갖음.
• Time domain에서 Aperiodic(비주기) signal는
  frequency domain에서 Continuous spectrum을 갖음.
• Time domain에서 Continuous signal는
  frequency domain에서 Aperiodic(비주기)  spectrum을 갖음.
• Time domain에서 Discrete signal는
  frequency domain에서 Periodic(주기) spectrum을 갖음.

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유한성과 무한성

• Time domain에서  길이가  유한한  signal의  spectrum은  전  frequency  범위(무한)에서  값을  갖음. 
  즉, frequency domain에서 대역 제한되지 않음.
• 전  시간  범위(무한)에서  값을  갖는  signal의  spectrum은  유한한  frequency 범위에서만  값을  갖음. 즉,
  frequency domain에서 대역 제한됨.

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Scaling (독립변수에 대한)

• 시간 축 상에서 signal를 늘리면 spectrum은 frequency 축 상에서 압축.
• 시간 축 상에서 signal를 압축하면 spectrum은 frequency 축 상에서 늘어남.

CTFT에서의 scaling property는 다음과 같음:

$$x(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} X\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

DTFT에서의 scalilng property는 다음과 같음:

$$x[Mn] \leftrightarrow X\left(\frac{\Omega}{M}\right)$$

DTFT (이산 시간 푸리에 변환)에서 magnification이 frequency 축 상에서만 일어나는 이유:
$\frac{1}{\|a\|}$ 이 곱해지는 부분이 없는 이유

 

이는 discrete signal의 근본적인 특성 때문임

continuous time signal 의 경우

- 시간 축에서 압축/팽창하면

- 주파수 영역에서는 반대로 팽창/압축되므로,

- 면적 보존(=에너지 보존)을 위해 $1/\|a\|$를 곱해줘야 함.

 

discrete time signal의 경우

- 샘플링된 지점들만 의미가 있으며

- 물리적으로 시간축의 샘플 사이의 간격이 변하는것이 아님

- 즉, 0이 중간에 삽입되는 것이지 물리적 샘플 간격이 바뀌지 않음.

 

때문에 discrete signal의 경우 면적 보존을 위한 $1/\|a\|$ 계수가 필요하지 않음

예를 들어:
- $x[n] = \{1, 2, 3, 4\}$에서
- $a=2$로 scaling하면: $x[2n] = \{1, 0, 2, 0, 3, 0, 4\}$
- 0이 중간에 삽입되는 형태가 되어 원래 신호의 에너지가 보존됨

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Delay와 Phase Shift

Time domain에서 signal를 시간 지연(선행)시키면

• magnitude spectrum은 변화가 없고,
• phase spectrum만 시간 지연에 비례하여 선형적으로 감소(증가)한다.

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Signal의 변화와 Frequency

• Time domain에서 signal 파형의 변화가 느리고 매끄러울수록 amplitude spectrum은 급격히 감소한다
  (낮은 frequency에서 높은 frequency로 갈 때 급격히 감소).
• Time domain에서  signal  파형이  급격히  변화할수록  spectrum은  높은  frequency  성분을 더 많이 포함한다.

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Convolution과 곱.

• Time domain에서 두 signal의 Convolution은 frequency domain에서 spectrum의 곱으로 나타난다.
• Time domain에서 두 signal의 곱은 frequency domain에서 spectrum의 Convolution으로 나타난다.

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Parseval의 정리

• Time domain에서  구한  signal의  에너지(or 전력)는  frequency  domain에서  구한  에너지(or 전력)와  같고,
  이때 서로 다른 frequency 성분끼리는 에너지를 형성하지 않는다.
• 변환한다고 에너지(or 전력)가 변화하지 않는다. (정량적 성질이 바뀌지 않음)

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Symmetry와 Phase

• Time domain에서  signal이 $t=0$ $(n=0)$의  수직축을  중심으로  even symmetry이면  phase  spectrum은 $0$ 또는  $\pm \pi$이 된다.
  • $x(t) = x(-t)$인 경우로,
  • 이에 대한 FT가 real number 임.
  • Phase Spectrum은 실수부가 양수일 때 0, 실수부가 음수일 때 $\pm \pi$임.
  • example: $\cos(\omega t)$
• Time domain에서  signal이  임의의  수직축을  중심으로  even symmetry을  만족하면  phase spectrum은 선형이 된다.
  • $x(t-t_0) = x(-t+t_0)$인 경우로,
  • time shifted time signal은 linear phase를 가짐.
  • $\angle (\Omega) = -t_0 \Omega$로 기울기가 symmetry의 중심인 수직축 $t_0$에 비례함.
• Time domain에서  signal이 $t=0$ ($n=0$)의  수직축을  중심으로  odd symmetry이면  phase  spectrum은 $\pm 2\pi$이 된다.
  • $x(t) = -x(-t)$인 경우로,
  • FT는 순수한 imaginary number 임.
  • 따라서 Phase Spectrum은 $\pm \frac{\pi}{2}$임.
  • example: $\sin(\omega t)$

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같이 보면 좋은 자료

2023.11.30 - [분류 전체보기] - [SS] Discrete Time Fourier Transform (DTFT) and Discrete Fourier Transform (DFT)

[SS] Discrete Time Fourier Transform (DTFT) and Discrete Fourier Transform (DFT)

 

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