Shift

어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..

0. shifted impulse와 convolution은 결국 shifting 연산임$t_0$로 shifting을 시킨 impulse function $\delta(t-t_0)$과의 convolution은결국 같은 $t_0$만큼 signal을 shifting하는 것으로 볼 수 있음. $$f(t)*\delta(t-t_0) = f(t-t_0)$$ $*$ : convolution1. 증명$$ \begin{aligned} f(t)* g(t) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\color{red}{\tau}) g(\tau) d \tau \\ f(t)* \delta(t-t_0) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\tau) \delta(\tau - t_0) d \tau \\ &= \..

Shifting Signal을 지연(delay) 또는 선행(advanced)시키는 연산을 의미함 (보통 delay를 기준으로 처리) $$x(t) \rightarrow x(t-t_0)$$ 위 식은 $t_0$로 shift 시킨 것을 의미함. (delayed) 다음 그림은 $x(t)=t^2$ signal과 이를 1, 2로 shift 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임. Reflecting 반사라고도 애기를 하며, time signal의 경우 대부분 horizontal reflection을 의미함. $$x(t) \rightarrow x(-t)$$ 위 식은 $x(t)$로 reflection 시킨 것을 의미함. 다음 그림은 $x(t)=0.3t+1$ signal과 이를 reflection shift ..

$f(t)=A\sin (\omega_0 t-\theta)$ 에 대한 Fourier Transform 구하기. 1. phase가 없는 경우를 구하고 $\mathscr{F}[\sin \omega_0 t]$ 는 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{F}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Ome..