[CV] Example: Essential Matrix and Epipolar Line

Essential Matrix와 Epiline 구하기

Essential Matrix $ \mathbf{E} $는
두 카메라의 normalized image plane에서의 대응점들(correspondance) 사이의 기하학적 관계를 나타냄.

 

Essential Matrix를 통해

• camera calibration이 수행된 normalized image plane의 점 $ \mathbf{p}_1 $에 대해
  두 번째 카메라의 epiline $ \mathbf{l}' $을 구할 수 있음.

2024.06.28 - [Programming/DIP] - [CV] Epipolar Geometry [작성중]

[CV] Epipolar Geometry [작성중]

2024.07.16 - [Programming/DIP] - [CV] Example: Fundamental Matrix and Epipolar Line (등극선)

[CV] Example: Fundamental Matrix and Epipolar Line (등극선)

 

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기본 개념

• Essential Matrix $ \mathbf{E} $:
  • 두 카메라 간의 Rotation (회전) $ \mathbf{R} $과
  • Translation (평행 이동) $ \mathbf{t} $를 포함함.
• Epiline:
  • stereo camera에서 한 카메라의 이미지 점에 대응하는 다른 카메라의 이미지 상의 직선.

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수식

주어진 첫 번째 카메라의 normalized image plane 상의 점 $ \mathbf{p}_1 $에 대해 두 번째 카메라의 epiline $ \mathbf{l}' $은 다음과 같이 계산됨:

$$
\mathbf{l}' = \mathbf{E} \mathbf{p}_1
$$

여기서:

• $ \mathbf{E} $는 Essential Matrix.
• $ \mathbf{p}_1 $은 첫 번째 카메라의 normalized image plane 상의 점.

 

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예제

주어진 값

• Essential Matrix $ \mathbf{E} $:

$$
\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 1
\end{bmatrix}
$$

• 첫 번째 카메라의 점 $ \mathbf{p}_1 $:

$$
\mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix}
0.2 \\
0.3 \\
1
\end{bmatrix}
$$

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계산

두 번째 카메라의 normalized image plane상의 epiline $ \mathbf{l}' $을 계산하기 위해, 주어진 값을 위의 수식에 대입함:

$$
\mathbf{l}' = \mathbf{E} \mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0.2 \\
0.3 \\
1
\end{bmatrix}
$$

행렬 곱셈을 수행하면:

$$
\mathbf{l}' = \begin{bmatrix}
-0.3 \\
0.2 - 0.5 \\
0.5 \cdot 0.3 + 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-0.3 \\
-0.3 \\
1.15
\end{bmatrix}
$$

따라서 두 번째 카메라의 normalized image plane 상에서의 epiline $ \mathbf{l}' $은 다음과 같음:

$$
-0.3x - 0.3y + 1.15 = 0
$$

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Python 코드

다음은 Python을 사용하여 동일한 계산을 수행하고 epiline을 시각화하는 코드임:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Essential Matrix
E = np.array([[0, -1, 0],
              [1, 0, -0.5],
              [0, 0.5, 1]])

# Point in the first normalized image plane
p1 = np.array([0.2, 0.3, 1])

# Calculate the epiline in the second image plane
l_prime = np.dot(E, p1)

# Define the range of x values for plotting
x = np.linspace(-1, 1, 100)
# Calculate the corresponding y values
y = -(l_prime[0] * x + l_prime[2]) / l_prime[1]

# Plot the epiline
plt.plot(x, y, '-r', label='Epiline')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Epiline in the Second Image')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()